Usando a primeira regra composta de Simpson ( \mathrm{h}=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{9}\left(x^{2}+6 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede:
  • Calcular a integral \displaystyle I=\int_{1}^{9}\left(x^{2}+6x+5\right)\,dx em forma aproximada usando a primeira regra composta de Simpson com \displaystyle h=1.
  • Calcular a mesma integral de forma exata.
  • Determinar o erro (diferença entre o aproximado e o exato).
Informações dadas e que vamos usar:
  • Função integranda: \displaystyle f(x)=x^{2}+6x+5.
  • Intervalo: \displaystyle [a,b]=[1,9].
  • Passo uniformes: \displaystyle h=1.
  • Número de subintervalos: \displaystyle n=\dfrac{b-a}{h}=\dfrac{9-1}{1}=8 (é par, portanto a regra composta de Simpson é aplicável).

Passo 2

Explicando a regra composta de Simpson (a “fórmula” que vamos usar) de forma didática:
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais de largura \displaystyle h. Os nós são \displaystyle x_i=a+i h, para i=0,1,\dots,n.
  • A fórmula composta de Simpson (1/3) aproxíma a integral por uma combinação linear dos valores de f nos nós, com pesos alternados 1,4,2,4,\dots,2,4,1. A fórmula é
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big[f(x_0)+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_i)+2\sum_{i\\ \text{par},\\ i\ne0,n} f(x_i)+f(x_n)\Big].í
  • Aqui \displaystyle h é a largura de cada subintervalo, x_0=a e x_n=b. Os índices “ímpar” e “par” referem-se aos índices i dos nós.
  • Por que esses pesos? Simpson aproxima o integrando por polinômios quadráticos em pares de subintervalos; os coeficientes (1,4,1) numa única aplicação de Simpson transformam-se nos pesos compostos (1,4,2,4,\dots,4,1) quando se junta tudo. Não é preciso decorar mais que a fórmula: coloque 1 nas extremidades, 4 nos nós de índice ímpar, 2 nos nós de índice par (exceto as extremidades), multiplique por h/3.

Passo 3

Calculamos os nós e os valores de f nesses nós. Como \displaystyle a=1, \displaystyle h=1, os nós são
x_0=1,\; x_1=2,\; x_2=3,\; x_3=4,\; x_4=5,\; x_5=6,\; x_6=7,\; x_7=8,\; x_8=9.
Agora avaliamos f(x)=x^{2}+6x+5 em cada nó (cada número está em TeX):
\begin{aligned} f(1)&=1^{2}+6\cdot1+5=12,\\\ f(2)&=2^{2}+6\cdot2+5=21,\\\ f(3)&=3^{2}+6\cdot3+5=32,\\\ f(4)&=4^{2}+6\cdot4+5=45,\\\ f(5)&=5^{2}+6\cdot5+5=60,\\\ f(6)&=6^{2}+6\cdot6+5=77,\\\ f(7)&=7^{2}+6\cdot7+5=96,\\\ f(8)&=8^{2}+6\cdot8+5=117,\\\ f(9)&=9^{2}+6\cdot9+5=140. \end{aligned}

Passo 4

Aplicando a fórmula composta de Simpson com \displaystyle h=1 e n=8.
  • Soma dos valores em índices ímpares i=1,3,5,7 (nós interiores ímpares):
\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_i)=f(2)+f(4)+f(6)+f(8)=21+45+77+117=260.í
  • Soma dos valores em índices pares não-extremos i=2,4,6:
\sum_{i\\ \text{par},\,i\ne0,8} f(x_i)=f(3)+f(5)+f(7)=32+60+96=188.
  • Colocando na fórmula:
\begin{aligned} \int_{1}^{9} f(x)\,dx &\approx \frac{h}{3}\big[f(x_0)+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_i)+2\sum_{i\\ \text{par},\,i\ne0,n} f(x_i)+f(x_n)\big]\\[4pt] &= \frac{1}{3}\big[\,f(1)+4\cdot260+2\cdot188+f(9)\,\big]. \end{aligned}í
  • Substituindo f(1)=12 e f(9)=140:
\int_{1}^{9} f(x)\,dx \approx \frac{1}{3}\big[12+1040+376+140\big]=\frac{1568}{3}.
  • Em forma decimal com vírgula: \displaystyle \frac{1568}{3}=522,666\ldots]

Passo 5

Agora calculamos a integral exata fazendo a antiderivada.
  • Antiderivada de f(x)=x^{2}+6x+5 é
F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}+5x,
pois \displaystyle \frac{d}{dx}\!\Big(\frac{1}{3}x^{3}\Big)=x^{2}, \displaystyle \frac{d}{dx}(3x^{2})=6x, \displaystyle \frac{d}{dx}(5x)=5.
  • Avaliando entre 1 e 9:
\begin{aligned} F(9)&=\frac{1}{3}\cdot9^{3}+3\cdot9^{2}+5\cdot9=\frac{729}{3}+3\cdot81+45=243+243+45=531,\\[4pt] F(1)&=\frac{1}{3}\cdot1^{3}+3\cdot1^{2}+5\cdot1=\frac{1}{3}+3+5=\frac{25}{3}=8,\!333\ldots \end{aligned}
  • Portanto a integral exata é
\int_{1}^{9} f(x)\,dx=F(9)-F(1)=531-\frac{25}{3}=\frac{1593-25}{3}=\frac{1568}{3}=522,666\ldots]

Passo 6

Análise do erro:
  • A fórmula de erro da regra composta de Simpson (para alguma \xi\in(a,b)) é
\displaystyle E=-\frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\,f^{(4)}(\xi).
Aqui f^{(4)} é a quarta derivada da função integranda e h é o passo.
  • Calculando derivadas de f(x)=x^{2}+6x+5:
f'(x)=2x+6,\qquad f''(x)=2,\qquad f^{(3)}(x)=0,\qquad f^{(4)}(x)=0.
  • Como \displaystyle f^{(4)}(x)\equiv 0 em todo o intervalo, do termo do erro segue que E=0.
  • Interpretação prática: Simpson é exato para polinômios de grau até 3; como f é de grau 2, a aproximação por Simpson dá exatamente o valor real da integral.

Passo 7

Conclusão final e observação motivadora:
  • A aproximação pela regra composta de Simpson com \displaystyle h=1 coincide exatamente com o valor exato da integral porque a função é um polinômio de grau 2 (portanto a quarta derivada é zero).
  • Então o erro é zero. Parabéns — aqui o método numérico funciona perfeitamente!

Resposta

\displaystyle I_{\text{aprox}}=\frac{1568}{3}=522,666\ldots
\displaystyle I_{\text{exato}}=\frac{1568}{3}=522,666\ldots
\displaystyle \text{Erro}=0

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