Usando a primeira regra composta de Simpson (
), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
Passo 1
O enunciado pede:
- Calcular a integral
em forma aproximada usando a primeira regra composta de Simpson com . - Calcular a mesma integral de forma exata.
- Determinar o erro (diferença entre o aproximado e o exato).
Informações dadas e que vamos usar:
- Função integranda:
. - Intervalo:
. - Passo uniformes:
. - Número de subintervalos:
(é par, portanto a regra composta de Simpson é aplicável).
Passo 2
Explicando a regra composta de Simpson (a “fórmula” que vamos usar) de forma didática:
- Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais de largura . Os nós são , para . - A fórmula composta de Simpson (1/3) aproxíma a integral por uma combinação linear dos valores de
nos nós, com pesos alternados . A fórmula é
- Aqui
é a largura de cada subintervalo, e . Os índices “ímpar” e “par” referem-se aos índices dos nós. - Por que esses pesos? Simpson aproxima o integrando por polinômios quadráticos em pares de subintervalos; os coeficientes
numa única aplicação de Simpson transformam-se nos pesos compostos quando se junta tudo. Não é preciso decorar mais que a fórmula: coloque 1 nas extremidades, 4 nos nós de índice ímpar, 2 nos nós de índice par (exceto as extremidades), multiplique por .
Passo 3
Calculamos os nós e os valores de
nesses nós. Como
,
, os nós são
Agora avaliamos
em cada nó (cada número está em TeX):
Passo 4
Aplicando a fórmula composta de Simpson com
e
.
- Soma dos valores em índices ímpares
(nós interiores ímpares):
- Soma dos valores em índices pares não-extremos
:
- Colocando na fórmula:
- Substituindo
e :
- Em forma decimal com vírgula:
]
Passo 5
Agora calculamos a integral exata fazendo a antiderivada.
- Antiderivada de
é
pois
,
,
.
- Avaliando entre
e :
- Portanto a integral exata é
Passo 6
Análise do erro:
- A fórmula de erro da regra composta de Simpson (para alguma
) é
Aqui
é a quarta derivada da função integranda e
é o passo.
- Calculando derivadas de
:
- Como
em todo o intervalo, do termo do erro segue que . - Interpretação prática: Simpson é exato para polinômios de grau até 3; como
é de grau 2, a aproximação por Simpson dá exatamente o valor real da integral.
Passo 7
Conclusão final e observação motivadora:
- A aproximação pela regra composta de Simpson com
coincide exatamente com o valor exato da integral porque a função é um polinômio de grau 2 (portanto a quarta derivada é zero). - Então o erro é zero. Parabéns — aqui o método numérico funciona perfeitamente!