Calcule
usando a quadratura gaussiana de 3 pontos.
Passo 1
Beleza, a gente quer aproximar a integral
usando quadratura gaussiana de 3 pontos. Isso envolve:
- Entender o que é quadratura gaussiana (um jeito esperto de somar valores da função em pontos especiais para aproximar integrais).
- Fazer a mudança de variável para levar o intervalo de integração de
para . - Usar os 3 nós (pontos) e pesos padrões da Gauss-Legendre em
.
Passo 2
Primeiro, a mudança de variável. Se definirmos
então
Logo
Aqui a teoria é: para integrar em
a gente troca pra
e puxa fora o fator
, que no nosso caso é 1.
Passo 3
Na quadratura gaussiana de 3 pontos em
, usamos os nós
e pesos
:
A regra diz:
Passo 4
Aplicando ao nosso :
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Agora a soma ponderada:
[
\int_{1}{3}\frac{\sen2(x)}{x}dx
\approx
\sum_{i=1}^3 w_i,g(t_i)
\tfrac{8}{9},g(0)
- \tfrac{5}{9},g(\sqrt{3/5})
- \tfrac{5}{9},g(-\sqrt{3/5}).
]
Calculando numericamente cada termo (com calculadora):
- .
-
. -
.
Então