Calcule integral1^3 sen^2(x)x d x usando a quadratura gaussiana de 3 pontos.

Passo 1

Beleza, a gente quer aproximar a integral
usando quadratura gaussiana de 3 pontos. Isso envolve:
  1. Entender o que é quadratura gaussiana (um jeito esperto de somar valores da função em pontos especiais para aproximar integrais).
  2. Fazer a mudança de variável para levar o intervalo de integração de integral1^3 sen^2(x)x,dx para .
  3. Usar os 3 nós (pontos) e pesos padrões da Gauss-Legendre em .

Passo 2

Primeiro, a mudança de variável. Se definirmos
t in [-1,1], x = 3+12 + 3-12,t = 2 + t,
então
dx = 3-12,dt = 1cdot dt = dt
Logo
Aqui a teoria é: para integrar em integral1^3 sen^2(x)x,dx = integral-1^1 sen^2(2+t),2+t,,dt a gente troca pra e puxa fora o fator , que no nosso caso é 1.

Passo 3

Na quadratura gaussiana de 3 pontos em t1 = 0, w1 = tfrac89; t2,3 = pmraiztfrac35, w2,3 = tfrac59 , usamos os nós integral-1^1 g(t),dt approx sumi=1^3 wi,g(ti) e pesos :
A regra diz:

Passo 4

Aplicando ao nosso :
  1. Para x1 = 2+0 = 2, g(0) = sen^2(2)2 :
  2. Para x2 = 2 + 0.7746 approx 2.7746, g(t2) = sen^2(2.7746)2.7746 :
  3. Para x3 = 2 - 0.7746 approx 1.2254, g(t3) = sen^2(1.2254)1.2254 :

Passo 5

Agora a soma ponderada:
[
\int_{1}{3}\frac{\sen2(x)}{x}dx
\approx
\sum_{i=1}^3 w_i,g(t_i)

\tfrac{8}{9},g(0)
  • \tfrac{5}{9},g(\sqrt{3/5})
  • \tfrac{5}{9},g(-\sqrt{3/5}).
    ]
Calculando numericamente cada termo (com calculadora):
  • .
  • integral1^3sen^2(x)xdx approx sumi=1^3 wi,g(ti) = tfrac89,g(0) + tfrac59,g(raiz3/5) + tfrac59,g(-raiz3/5) .
  • 89cdot0,4134 + 59cdot0,0463 + 59cdot0,7228 approx 0,7943 .
Então

Resposta

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