Usar polinômios interpolantes de Lagrange apropriados de graus um, dois, três e quatro para aproximar f(1,25) se f(1,0)=0,24255 ; f(1,1)=0,48603 ; f(1,2)=
=0,86160 ; f(1,3)=1,59751 ; f(1,4)=3,76155

Passo 1

O enunciado pede para aproximar f(1,25) (ou seja, f(1,25)) usando polinômios interpolantes de Lagrange de graus 1, 2, 3 e 4 a partir dos pontos\r
x:0,;1,;2,;3,;4, f(x):0,24255,;0,48603,;0,86160,;1,59751,;3,76155 \r
Vamos construir em cada passo o polinômio Pn de grau n e calcular Pn(1,25).

Passo 2

Para o polinômio de grau 1 (reta) usamos os nós mais próximos de 1,25, isto é x1=1 e x2=2. A fórmula da interpolação linear é\r
P1(x) =f(1)+f(2)-f(1)2-1(x-1) \r
Logo\r
P1(1,25) =0,48603+l(0,86160-0,48603r)cdot0,25 =0,48603+0,37557cdot0,25 approx0,57992

Passo 3

Para o polinômio de grau 2 usamos os nós x0=0, x1=1 e x2=2. As bases de Lagrange em x=1,25 são\r
L0=-(x-1)(x-2)6, L1=-x(x-2), L2=x(x-1)2, \r
avaliadas em x=1,25 dão\r
L0(1,25)=-0,09375,; L1(1,25)=0,93750,; L2(1,25)=0,15625 \r
Assim\r
P2(1,25) =0,24255cdot(-0,09375) +0,48603cdot0,93750 +0,86160cdot0,15625 approx0,56761

Passo 4

Para o polinômio de grau 3 usamos os nós . As bases de Lagrange em são\r
\r
avaliadas em dão\r
\r
Logo\r

Passo 5

Para o polinômio de grau 4 usamos todos os cinco nós e o método das diferenças divididas (Newton). Definindo\r
De<a f0=0,24348,; De<a^2 f0=0,13209,; De<a^3 f0=0,22825,; De<a^4 f0=0,83954, \r
e t=(1,25-0)/1=1,25, temos\r
P4(1,25) =f0 +t,De<a f0 +t(t-1)2!,De<a^2 f0 +t(t-1)(t-2)3!,De<a^3 f0 +t(t-1)(t-2)(t-3)4!,De<a^4 f0 approx0,57297

Resposta

P1(1,25)approx0,57992
P2(1,25)approx0,56761
P3(1,25)approx0,55862
P4(1,25)approx0,57297

Exercícios relacionados