Use o método de Newton-Raphson para aproximar as soluções das seguintes equações no intervalo de precisão de 10^-5:
3 x^2-e^x=0

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, via método de Newton–Raphson, as raízes da equação
3x^2 - e^x = 0
com precisão de 10^-5. O conteúdo é método iterativo de busca de raízes em que usamos a fórmula de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

Passo 2

Definimos
f(x) = 3x^2 - e^x, f'(x) = 6x - e^x
A cada iteração usamos
xn+1 = xn - 3xn^2 - e^xn6xn - e^xn

Passo 3

Para localizar as raízes, note que
f(-1) = 3cdot(-1)^2 - e^-1 = 3 - 0,3679 = 2,6321 > 0, f(0) = -1 < 0,
então há uma raiz em (-1,0).
E
f(0) = -1 < 0, f(1) = 3 - e = 0,2817 > 0,
há outra em (0,1).
Escolhemos x0=-0,5 para a raiz negativa e x0=0,5 para a raiz positiva.

Passo 4

Iterações para a raiz em , com :
Em já temos .
Logo a raiz é

Passo 5

Iterações para a raiz em , com :
Em temos .
Logo a outra raiz é

Resposta

Raízes aproximadas em precisão 10^-5:
x approx -0,45895, x approx 0,91003

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