(use 4 casas decimais) Dado o PVI ly^prime(x)=2 x-y y(1,5)=4, obtenha uma aproximação de y(3) para h=0,5 usando os métodos a seguir:
Método de Euler.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para aproximar a solução do PVI
y'(x) = 2x - y, y(1.5) = 4
no ponto yn+1 = yn + h,f(xn,yn), usando o método de Euler com passo .
Conteúdo: método de Euler (integração numérica de EDOs).
O que vamos usar: a fórmula
onde .

Passo 2

O método de Euler é basicamente “seguir a reta tangente” em cada ponto para dar um salto de tamanho N = 3 - 1.50.5 = 3 .
Aqui:
  • ponto inicial yn+1 = yn + 0.5,(2xn - yn), xn+1 = xn + 0.5 ,
  • passo ,
  • número de passos para ir de 1.5 até 3:
A cada passo calculamos

Passo 3

Vamos ao 1º salto ( f(x₀,y₀) = 2cdot1.5 - 4 = 3 - 4 = -1 ):
x₀ = 1.5, y₀ = 4.
y1 = y0 + 0.5cdot(-1) = 4 - 0.5 = 3.5, x1 = 1.5 + 0.5 = 2.0
Então

Passo 4

2º salto ( f(x₁,y₁) = 2cdot2.0 - 3.5 = 4 - 3.5 = 0.5 ):
x₁ = 2.0, y₁ = 3.5.
y2 = 3.5 + 0.5cdot0.5 = 3.5 + 0.25 = 3.75, x2 = 2.0 + 0.5 = 2.5

Passo 5

3º salto ( f(x₂,y₂) = 2cdot2.5 - 3.75 = 5 - 3.75 = 1.25 ):
x₂ = 2.5, y₂ = 3.75.
y3 = 3.75 + 0.5cdot1.25 = 3.75 + 0.625 = 4.375, x3 = 2.5 + 0.5 = 3.0

Resposta

Aproximação pelo método de Euler em boxedy(3)approx 4.3750 :

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