(use aproximações com 4 casas decimais) Do cálculo I, sabemos que integral0^1 1x^2+1 d x=pi4 simeq 0,7854 . Calcule uma aproximação usando a:
Integral pela Quadratura Gaussiana.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra aproximar a integral
integral0^11x^2+1,dx
usando a quadratura de Gauss. Isso é parte de Cálculo I e envolve:
  • Entender o método de Gauss–Legendre (no caso, vamos usar 2 pontos).
  • Saber mudar a variável de integração de para .
  • Conhecer nós ( ) e pesos ( ) para 2 pontos na regra de Gauss.

Passo 2

Teoria rapidinha:
A regra de Gauss–Legendre com 2 pontos diz que, para integrar de integral-1^1f(t),dtapprox sumi=1^2 wi,f(ti), a t1,2=pm1raiz3, w1=w2=1 ,
onde

Passo 3

Mudar de x = 1-02,t + 1+02 = t+12, pra integral0^1 1x^2+1,dx = integral-1^11l(t+12r)^2+1,12,dt = 12integral-1^1f!l(tfract+12r),dt . Definimos
então . Logo

Passo 4

Agora aplicamos a regra de Gauss 2 pontos nessa integral transformada:
integral0^11x^2+1,dx approx 12sumi=1^2 wi, f!l(tfracti+12r),
onde , .

Passo 5

Calcular os e :

  • .

  • .

Passo 6

Juntando tudo:
integral0^11x^2+1,dx approx 12l[f(x1)+f(x2)r] = 12l(0.9572 + 0.6165r) = 0.7868

Resposta

Aproximação pela quadratura de Gauss (2 pontos): .

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