Use a aritmética de arredondamento, com quatro algarismos, e as fórmulas do Exemplo 5 para determinar a aproximação mais precisa para as raízes das seguintes equações quadráticas. Calcule os erros absolutos e relativos.
1,002 x^2-11,01 x+0,01265=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar as raízes da equação
1.002,x^2 ;-;11.01,x ;+;0.01265 ;=;0
usando aritmética com quatro algarismos significativos e as fórmulas do Exemplo 5 (que evitam cancelamento). Isso é método numérico de raízes de polinômios, envolve:
  1. calcular o discriminante x1=-b-sgn(b),raiz D2a, x2=2c-b-sgn(b),raiz D, com arredondamento,
  2. extrair arredondado,
  3. usar a fórmula estável
  1. por fim definir erro absoluto e erro relativo .

Passo 2

Coeficientes: b^2approx121.2 , , .
Calcular .
Arredondando a 4 dígitos signific.:

Passo 3

Calcular 4a=4times1.002=4.008, 4ac=4.008times0.01265=0.0507012;to;0.05070(4 sig) :

Passo 4

Discriminante:
D=b^2-4ac=121.2-0.05070=121.1493;to;121.1(4 sig)

Passo 5

Raiz do discriminante:
raizD=raiz121.1approx11.005;to;11.01(4 sig)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula estável (Ex.5). Primeiro A=-b-sgn(b),raiz D=11.01-(-1)times11.01=22.02(4 sig), .
Como B=-b+sgn(b),raiz D=11.01+(-1)times11.01=0(não usamos B) , , então

Passo 7

Raízes aproximadas:
x1=A2a=22.022times1.002=2.004 approx10.99(4 sig),
x2=2cA=2times0.01265=0.0253022.02 approx0.001149(4 sig)

Passo 8

Para medir o erro, precisamos das “raízes verdadeiras” em alta precisão.
Computando x1^*=11.01+11.00772.004approx10.9868, x2^*=2times0.0126511.01+11.0077approx0.0011486 sem arredondar dá , .
Então, pelas fórmulas exatas:

Passo 9

Agora os erros:
Erro absoluto e relativo para erm abs,1=|10.99-10.9868|approx0.0032, erm rel,1=0.003210.9868approx2.9times10^-4 :
erm abs,2=|0.001149-0.0011486|approx4times10^-7, erm rel,2=4times10^-70.0011486approx3.4times10^-4
Para :

Resposta

Raízes aproximadas (4 sig.dig.)
x1approx10.99, x2approx0.001149
Erros:
erm abs,1approx3.2times10^-3,; erm rel,1approx2.9times10^-4; erm abs,2approx4times10^-7,; erm rel,2approx3.4times10^-4

Exercícios relacionados