Use a aritmética de arredondamento, com quatro algarismos, e as fórmulas do Exemplo 5 para determinar a aproximação mais precisa para as raízes das seguintes equações quadráticas. Calcule os erros absolutos e relativos.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar as raízes da equação
usando aritmética com quatro algarismos significativos e as fórmulas do Exemplo 5 (que evitam cancelamento). Isso é método numérico de raízes de polinômios, envolve:
- calcular o discriminante
com arredondamento, - extrair
arredondado, - usar a fórmula estável
- por fim definir erro absoluto
e erro relativo .
Passo 2
Coeficientes:
,
,
.
Calcular .
Arredondando a 4 dígitos signific.:
Calcular
Arredondando a 4 dígitos signific.:
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Discriminante:
Passo 5
Raiz do discriminante:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula estável (Ex.5). Primeiro
.
Como , , então
Como
Passo 7
Raízes aproximadas:
Passo 8
Para medir o erro, precisamos das “raízes verdadeiras” em alta precisão.
Computando sem arredondar dá
,
.
Então, pelas fórmulas exatas:
Computando
Então, pelas fórmulas exatas:
Passo 9
Agora os erros:
Erro absoluto e relativo para :
Erro absoluto e relativo para
Para
:
Resposta
Raízes aproximadas (4 sig.dig.)
Erros: