Use cinco casas decimais para todos os cálculos. Considere as funções reais f(x)= cos (x)-raizx, g(x)=cos (x)-x e h(x)=x^3-x-1
Determine uma aproximação pelo método do Ponto Fixo para g tomando como função de iteração psi(x)=cos (x), valor inicial x^(0)=0.75 e tolerância epsilon=10^-2.

Passo 1

O enunciado pede a solução de
g(x)=cos(x)-x=0
pelo método do Ponto Fixo, usando a função de iteração
psi(x)=cos(x),
valor inicial x^(0)=075000 e tolerância epsilon=10^-2. Vamos iterar até
l|x^(k+1)-x^(k)r|<001,
mantendo cinco casas decimais em todos os cálculos.

Passo 2

No método do Ponto Fixo definimos a sequência
x^(k+1)=psil(x^(k)r)=cosl(x^(k)r)
Em cada iteração calculamos x^(k+1) e verificamos se
l|x^(k+1)-x^(k)r|<epsilon

Passo 3

Calculamos
x^(1)=cosl(x^(0)r)=cos(075000)=073169

Passo 4

Calculamos
x^(2)=cosl(x^(1)r)=cos(073169)=074424
E a diferença
l|x^(2)-x^(1)r|=l|074424-073169r|=001255>001,
ainda acima da tolerância, então continuamos.

Passo 5

Calculamos
x^(3)=cosl(x^(2)r)=cos(074424)=073559
E a diferença
l|x^(3)-x^(2)r|=l|073559-074424r|=000865<001,
o que satisfaz o critério de parada.

Resposta

A aproximação pelo método do Ponto Fixo é
xapprox073559

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