Use cinco casas decimais para todos os cálculos. Considere as funções reais f(x)= cos (x)-raizx, g(x)=cos (x)-x e h(x)=x^3-x-1
Use o método de Newton-Raphson para h tomando valor inicial x^(0)=1.5 e tolerância 10^-2.

Passo 1

O enunciado pede aproximar, pelo método de Newton–Raphson, uma raiz da função
h(x)=x^3 - x - 1
usando o chute inicial x^(0)=1.5, tolerância 10^-2 e cinco casas decimais em todos os cálculos.

Passo 2

A iteração de Newton–Raphson é dada por
x^(k+1) = x^(k) ;-;hl(x^(k)r)h'l(x^(k)r),
onde
h'(x)=3x^2-1

Passo 3

Para k=0, com x^(0)=1.5:
h(1.5)=1.5^3 -1.5 -1=0.87500, h'(1.5)=3cdot1.5^2-1=5.75000,
x^(1)=1.5 - 0.875005.75000=1.34783

Passo 4

Para k=1, com x^(1)=1.34783:
h(1.34783)=(1.34783)^3 -1.34783 -1=0.10189, h'(1.34783)=3cdot(1.34783)^2-1=4.45205,
x^(2)=1.34783 - 0.101894.45205=1.32494
A diferença lvert x^(2)-x^(1)rvert=0.02289>10^-2, ainda não atingiu a tolerância.

Passo 5

Para k=2, com x^(2)=1.32494:
h(1.32494)=(1.32494)^3 -1.32494 -1=0.00108, h'(1.32494)=3cdot(1.32494)^2-1=4.26641,
x^(3)=1.32494 - 0.001084.26641=1.32469
Agora lvert x^(3)-x^(2)rvert=0.00025<10^-2, ou seja, atingimos a tolerância.

Resposta

A aproximação da raiz de h(x)=x^3-x-1 é
x approx 1.32469

Exercícios relacionados