(3 pontos) Considere o sistema linear:
l 2 x+3 y+z=9 4 x+7 y+5 z=24 6 x+18 y+10 z=44
(a) Resolva-o usando eliminação gaussiana.
(b) Resolva-o usando decomposição LU.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
2x + 3y + z = 9, 4x + 7y +5z =24, 6x +18y+10z=44,
e pede duas coisas:
(a) solução por eliminação de Gauss (matriz aumentada e escalonamento);
(b) solução por decomposição LU.
Para (a) vamos montar a matriz aumentada e eliminar abaixo dos pivôs; para (b) faremos a fatoração A=LU pelo método de Doolittle e depois resolveremos Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Construímos a matriz aumentada e eliminamos usando o pivô da primeira linha ( ):
Fazendo e obtemos

Passo 3

Usamos agora o pivô na segunda linha para zerar abaixo:
Dessa forma o sistema triangular superior é

Passo 4

Fazendo a substituição regressiva:
z = -37-20 = 3720, y = 6 -3z = 6 -3cdot3720 = 920, 2x = 9 -3y -z = 9 -3cdot920 -3720 = 295,
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x = 2910, y = 920, z = 3720

Passo 5

Agora fazemos a decomposição A=LU de
A= 2 &3 &1 4 &7 &5 6 &18&10
pelo método de Doolittle. Escrevemos
L= 1 &0 &0 ell21&1&0 ell31&ell32&1 , U= u11&u12&u13 0&u22&u23 0&0&u33
Calculamos em sequência:
u11=2, u12=3, u13=1, ell21=42=2, ell31=62=3,
u22=7-2cdot3=1, u23=5-2cdot1=3, ell32=18-3cdot31=9,
u33=10-3cdot1-9cdot3=-20
Assim
L= 1&0&0 2&1&0 3&9&1 , U= 2&3&1 0&1&3 0&0&-20

Passo 6

Resolvemos Ly=b com b=(9,24,44)^top:
y1=9, y2=24-2cdot9=6, y3=44-3cdot9-9cdot6=-37
Depois Ux=y:
-20,x3=-37implies x3=tfrac3720, x2=6-3x3=tfrac920, 2x1=9-3x2-x3=tfrac295implies x1=tfrac2910

Resposta

x = 2910, y = 920, z = 3720

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