Use a fatoração de Cholesky para resolver o sistema A x=b, onde:
A=[ccc 4 & 12 & -16 12 & 37 & -43 -16 & -43 & 98 ], b=[l 1 2 3 ]

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver o sistema $ A x = b $ usando a fatoração de Cholesky. A matriz $ A $ dada é simétrica e positiva definida, o que nos permite aplicar essa técnica. Para resolver, precisamos decompor $ A $ em uma matriz triangular inferior $ L $ tal que $ A = L L^T $. Depois, resolveremos dois sistemas triangulares para encontrar a solução $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz triangular inferior $ L $. A fatoração de Cholesky nos diz que podemos escrever:
L
Onde $ L $ tem a forma:
A = L L^T

Passo 3

Vamos calcular os elementos de $ L $ um por um. Começamos com $ l_{11} $:
L

Passo 4

Agora, calculamos $ l_{21} $:
l21

Passo 5

Em seguida, calculamos $ l_{31} $:
l31

Passo 6

Agora, calculamos $ l_{22} $ usando:
l22

Passo 7

Em seguida, calculamos $ l_{32} $:

Passo 8

Por último, calculamos $ l_{33} $:
l33

Passo 9

Agora que temos a matriz $ L $:
L
Vamos resolver o sistema $ L y = b $.

Passo 10

Escrevendo o sistema $ L y = b $:
L y = b
Primeiro, resolvemos para $ y_1 $:
2 y1 = 1 6 y1 + y2 = 2 -8 y1 + 5 y2 + 3 y3 = 3

Passo 11

Substituímos $ y_1 $ na segunda equação para encontrar $ y_2 $:
y1

Passo 12

Finalmente, substituímos $ y_1 $ e $ y_2 $ na terceira equação para encontrar $ y_3 $:
y1

Passo 13

Agora, vamos resolver o sistema $ L^T x = y $. A matriz $ L^T $ é:
L^T x = y
Escrevendo o sistema:
L^T
Primeiro, resolvemos para $ x_3 $:
L^T = 2 & 6 & -8 0 & 1 & 5 0 & 0 & 3

Passo 14

Substituímos $ x_3 $ na segunda equação para encontrar $ x_2 $:
x3

Passo 15

Finalmente, substituímos $ x_2 $ e $ x_3 $ na primeira equação para encontrar $ x_1 $:
x2

Resposta

A solução do sistema é:
x = 34312 -233 43

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