Use a fatoração de Cholesky para resolver o sistema
, onde:
Passo 1
Neste exercício, vamos resolver o sistema $ A x = b $ usando a fatoração de Cholesky. A matriz $ A $ dada é simétrica e positiva definida, o que nos permite aplicar essa técnica. Para resolver, precisamos decompor $ A $ em uma matriz triangular inferior $ L $ tal que $ A = L L^T $. Depois, resolveremos dois sistemas triangulares para encontrar a solução $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz triangular inferior $ L $. A fatoração de Cholesky nos diz que podemos escrever:
Onde $ L $ tem a forma:
Passo 3
Vamos calcular os elementos de $ L $ um por um. Começamos com $ l_{11} $:
Passo 4
Agora, calculamos $ l_{21} $:
Passo 5
Em seguida, calculamos $ l_{31} $:
Passo 6
Agora, calculamos $ l_{22} $ usando:
Passo 7
Em seguida, calculamos $ l_{32} $:
Passo 8
Por último, calculamos $ l_{33} $:
Passo 9
Agora que temos a matriz $ L $:
Vamos resolver o sistema $ L y = b $.
Passo 10
Escrevendo o sistema $ L y = b $:
Primeiro, resolvemos para $ y_1 $:
Passo 11
Substituímos $ y_1 $ na segunda equação para encontrar $ y_2 $:
Passo 12
Finalmente, substituímos $ y_1 $ e $ y_2 $ na terceira equação para encontrar $ y_3 $:
Passo 13
Agora, vamos resolver o sistema $ L^T x = y $. A matriz $ L^T $ é:
Escrevendo o sistema:
Primeiro, resolvemos para $ x_3 $:
Passo 14
Substituímos $ x_3 $ na segunda equação para encontrar $ x_2 $:
Passo 15
Finalmente, substituímos $ x_2 $ e $ x_3 $ na primeira equação para encontrar $ x_1 $:
Resposta
A solução do sistema é: