Use o formato real de 64 bits para achar os números equivalentes aos números binários de máquina.
a) 01000000101010010011 \underbrace{1000 \ldots \ldots .00}_{44 \text { zeros }}
b) 10111111111101010011 \underbrace{000 \ldots \ldots .00}_{44 \text { zeros }}

Passo 1

O enunciado pede: usar o formato real de 64 bits (IEEE 754 double precision) para achar os números reais correspondentes às duas sequências binárias fornecidas. As duas sequências são (peguei os bits do enunciado):
  • a) 01000000101010010011 seguido de 44 zeros (ou seja, os 52 bits da mantissa são os 8 bits finais dessa cadeia mostrada seguidos de 44 zeros).
  • b) 10111111111101010011 seguido de 44 zeros (mesma ideia: os 52 bits da mantissa são os 8 bits finais mostrados seguidos de 44 zeros).
O que é pedido:
  • (a) determinar o número real equivalente à primeira sequência binária em formato IEEE 754 double.
  • (b) determinar o número real equivalente à segunda sequência binária em formato IEEE 754 double.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Cada sequência tem 64 bits no total: 1 bit de sinal, 11 bits de expoente com bias 1023, e 52 bits de fração (mantissa).
  • Nas duas sequências, após os primeiros 20 bits apresentados, os 44 bits restantes são todos zeros.

Passo 2

Breve aula sobre o formato IEEE 754 double (64 bits) — o essencial para resolver:
  • Estrutura dos 64 bits:
    • bit de sinal: 1 bit (chamado de s);
    • expoente: 11 bits (campo E_{\text{field}}), com bias 1023;
    • fração (mantissa): 52 bits (bits f_1,f_2,\dots,f_{52}).
  • Para números normalizados (expoente \neq 0 e \neq 2047), o valor real representado é
(-1)^s \cdot (1 + f)\cdot 2^{e},
onde
f = \sum_{i=1}^{52} f_i 2^{-i} \quad\text{e}\quad e = E_{\text{field}} - 1023.
  • Explicando as variáveis:
    • s é 0 para número positivo e 1 para número negativo.
    • E_{\text{field}} é o valor decimal do campo de 11 bits.
    • f é a parte fracionária (mantissa) obtida somando as potências negativas de 2 correspondentes aos bits f_i.
  • Estratégia prática: extrair s, converter os 11 bits do expoente para decimal, calcular e, ler os 52 bits de fração (aqui muitos são zeros), somar as potências de 2^{-i} correspondentes aos bits 1, somar 1 e multiplicar por 2^{e}. Fazer tudo com frações se possível para obter resultado exato quando couber.

Passo 3

Aplicando a regra ao item (a). Primeiro separar campos a partir dos 64 bits que o enunciado mostrou.
Bits mostrados (primeiros 20): 01000000101010010011. Dividindo:
  • bit de sinal s: primeiro bit =0 (número positivo).
  • expoente E_{\text{field}}: próximos 11 bits (bits 2 a 12) =10000001010.
  • primeiros 8 bits da fração (bits 13 a 20): =10010011.
    Os 44 bits restantes da fração são todos zeros (conforme enunciado).
Converter o expoente para decimal:
E_{\text{field}}=\text{binário }10000001010 = 1024 + 8 + 2 = 1034.á
Calcular o expoente real:
e = E_{\text{field}} - 1023 = 1034 - 1023 = 11.

Passo 4

Calcular a fração f do item (a). Os bits da fração são:
f_1 f_2 f_3 f_4 f_5 f_6 f_7 f_8 = 1\;0\;0\;1\;0\;0\;1\;1
e os f_9 até f_{52} são zeros. Então
f = 2^{-1} + 2^{-4} + 2^{-7} + 2^{-8}.
Para calcular de forma exata, use denominador 2^{8}=256:
2^{-1} = \frac{128}{256},\quad 2^{-4}=\frac{16}{256},\quad 2^{-7}=\frac{2}{256},\quad 2^{-8}=\frac{1}{256}.
Somando:
f = \frac{128+16+2+1}{256} = \frac{147}{256}.
O significando (mantissa com o 1 implícito) é
1+f = 1 + \frac{147}{256} = \frac{403}{256}.

Passo 5

Calcular o valor final do item (a):
\text{valor} = (-1)^0\cdot\frac{403}{256}\cdot 2^{11}.
Simplificar usando 2^{11}/2^{8}=2^{3}=8:
\text{valor} = \frac{403}{256}\cdot 2^{11} = 403\cdot 2^{3} = 403\cdot 8 = 3224.
Portanto o número representado pela sequência (a) é exatamente 3224.

Passo 6

Aplicando a regra ao item (b). Bits mostrados (primeiros 20): 10111111111101010011. Dividindo:
  • bit de sinal s: primeiro bit =1 (número negativo).
  • expoente E_{\text{field}}: próximos 11 bits (bits 2 a 12) =01111111111.
  • primeiros 8 bits da fração (bits 13 a 20): =01010011.
    Os 44 bits restantes da fração são zeros.
Converter expoente para decimal:
E_{\text{field}}=\text{binário }01111111111 = 1023.á
Calcular o expoente real:
e = 1023 - 1023 = 0.

Passo 7

Calcular a fração f do item (b). Os primeiros 8 bits da fração:
f_1 f_2 f_3 f_4 f_5 f_6 f_7 f_8 = 0\;1\;0\;1\;0\;0\;1\;1
e o restante zeros. Então
f = 2^{-2} + 2^{-4} + 2^{-7} + 2^{-8}.
Com denominador 256:
2^{-2}=\frac{64}{256},\quad 2^{-4}=\frac{16}{256},\quad 2^{-7}=\frac{2}{256},\quad 2^{-8}=\frac{1}{256}.
Somando:
f = \frac{64+16+2+1}{256} = \frac{83}{256}.
O significando é
1+f = 1 + \frac{83}{256} = \frac{339}{256}.

Passo 8

Calcular o valor final do item (b). Como e=0,
\text{valor} = (-1)^1\cdot \frac{339}{256}\cdot 2^{0} = -\frac{339}{256}.
Em decimal isso é
-\frac{339}{256} = -1{,}32421875.

Resposta

a) 3224
b) -1{,}32421875

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