Use integração numérica para calcular com precisão inferior a 10^-8 o valor de:
cos 2^circ

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar o valor de
cos x = 1 ;-;integral0^xsin t,dt
usando integração numérica com erro menor que .
O conteúdo aqui é “métodos de integração numérica” (especificamente a regra de Simpson composta) e vamos precisar também converter graus para radianos e usar a relação

Passo 2

Primeiro, converte x = 2^circ = 2pi180 = pi90 para radianos, porque integração é sempre em radianos.

Passo 3

Teoria: pela regra de Simpson composta, para aproximar
integral0^x f(t),dt approx h3l[f(0) +4,f(h)+2,f(2h)+4,f(3h)+cdots+f(x)r] ,
dividimos o intervalo em subintervalos de largura (com par) e usamos:
No nosso caso, .

Passo 4

Erro de Simpson composta satisfaz (para algum l|error|<= x180,h^4maxtin[0,x]|f^(4)(t)| )
Aqui , e em o máximo de é .
Bastará escolher (o menor par possível) e vai dar erro bem abaixo de .

Passo 5

Com h = x2 = pi/902 = pi180 :
t0=0, t1=h=pi180, t2=2h=pi90
Os pontos são
integral0^xsin t,dt approx h3l[sin t0 +4sin t1+sin t2r] = pi/1803l[0 +4sin!l(tfracpi180r) +sin!l(tfracpi90r)r]
Aplicando Simpson:

Passo 6

Agora basta calcular numericamente:
sin!l(tfracpi180r)approx0.0174524064373, sin!l(tfracpi90r)approx0.0348994967025,
integral0^pi/90sin t,dt approx 0.01745329251993l[4cdot0.0174524064373+0.0348994967025r] approx 0.0006091715
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cos 2^circ ;=;1 - integral0^pi/90sin t,dt approx 1 - 0.0006091715 = 0.9993908285

Passo 7

Verificando o erro usando o termo teórico de Simpson, dá bem menos que .

Resposta

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