Use o método da bisseção para calcular aproximadamente a menor raíz da equação
12 x^2+ln x=0
com um êrro menor que epsilon=0,01.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar o método da bisseção (que é um conteúdo de Métodos Numéricos / Análise Numérica) pra achar, aproximada e com erro menor que 12,x^2 + ln x = 0 , a menor raiz da equação
f(x) = 12,x^2 + ln x
Pra resolver esse problema a gente vai precisar:
  • Entender que a função b-a2^n < varepsilon é contínua em .
  • Aplicar o Teorema do Valor Intermediário pra achar um intervalo onde e tenham sinais opostos.
  • Depois usar o método da bisseção: em cada passo a gente calcula o ponto médio, avalia a função lá e seleciona a metade do intervalo que contém a raiz.
  • Controlar o erro pelo fato de que, depois de iterações, o erro máximo é

Passo 2

Definimos
f(x) = 12,x^2 + ln x, x>0
Primeiro, escolhemos dois valores e tais que . Vamos testar
  • (negativo).
  • (positivo).
    Então há raiz em .

Passo 3

Agora explico rapidinho a ideia da bisseção:
  1. Calculo o ponto médio 0,52^n<0,01 ;Longrightarrow; 2^n>50 ;Longrightarrow; n>log2(50)approx5,64, .
  2. Avalio .
  3. Se , beleza, achei a raiz. Se não, vejo o sinal de :
    • Se , a raiz está em , então faço .
    • Se , a raiz está em , então faço .
  4. Repito até que o tamanho do intervalo seja pequeno o bastante pra garantir erro < .
    O erro máximo após iterações é . Queremos . Como , dá
então precisamos de iterações ou, se aceitarmos (critério equivalente), basta .

Passo 4

Vamos fazer as 5 iterações (critério ):
  1. .
    .
    Sinal de é negativo, logo a raiz está em .
  2. .
    (positivo).
    Então a raiz está em .
  3. .
    (positivo).
    Raiz em .
  4. .
    (positivo).
    Raiz em .
  5. .
    (positivo).
    Raiz em .
Agora , então já garantimos erro <0,01.

Resposta

Aproximando pela média do último intervalo, a menor raiz fica em
x approx 0,75 + 0,7656252 = 0,7578125,
portanto
boxedx approx 0,758(com erro <0,01)

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