Use o método da bisseção para calcular aproximadamente a menor raíz da equação
com um êrro menor que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente usar o método da bisseção (que é um conteúdo de Métodos Numéricos / Análise Numérica) pra achar, aproximada e com erro menor que
, a menor raiz da equação
Pra resolver esse problema a gente vai precisar:
- Entender que a função
é contínua em . - Aplicar o Teorema do Valor Intermediário pra achar um intervalo
onde e tenham sinais opostos. - Depois usar o método da bisseção: em cada passo a gente calcula o ponto médio, avalia a função lá e seleciona a metade do intervalo que contém a raiz.
- Controlar o erro pelo fato de que, depois de
iterações, o erro máximo é
Passo 2
Definimos
Primeiro, escolhemos dois valores
e
tais que
. Vamos testar
-
(negativo). -
(positivo).
Então há raiz em.
Passo 3
Agora explico rapidinho a ideia da bisseção:
- Calculo o ponto médio
. - Avalio
. - Se
, beleza, achei a raiz. Se não, vejo o sinal de : - Se
, a raiz está em , então faço . - Se
, a raiz está em , então faço .
- Se
- Repito até que o tamanho do intervalo seja pequeno o bastante pra garantir erro <
.
O erro máximo apósiterações é . Queremos . Como , dá
então precisamos de
iterações ou, se aceitarmos
(critério equivalente), basta
.
Passo 4
Vamos fazer as 5 iterações (critério
):
-
.
.
Sinal deé negativo, logo a raiz está em . -
.
(positivo).
Então a raiz está em. -
.
(positivo).
Raiz em. -
.
(positivo).
Raiz em. -
.
(positivo).
Raiz em.
Agora
, então já garantimos erro <0,01.
Resposta
Aproximando pela média do último intervalo, a menor raiz fica em
portanto