Use o Teorema de Lagrange para calcular os intervalos que contém as reízes positivas e o que contém as raizes negativas do polinômio
Passo 1
Beleza, vamos traduzir o que a questão pede. Temos o polinômio
e a ideia é usar o Teorema de Lagrange para achar intervalos onde ficam as raízes positivas e onde ficam as negativas.
Conteúdo envolvido: Teorema de Lagrange (também chamado de cota de Cauchy simplificada) dá um limite máximo tal que todas as raízes reais satisfazem . Especificamente, qualquer raiz positiva verifica
e as negativas a gente trata aplicando o mesmo em . Para resolver, vamos precisar só dos coeficientes do polinômio e dessa fórmula.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o coeficiente de maior grau e o maior coeficiente em módulo dos outros termos.
No nosso caso,
M = maxl,|0|,;|0|,;|-100|,;|2|,;|-1|r = 100 (coeficiente de ),
os outros coeficientes são (pra e ), (pra ), (pra ) e (termo constante).
Então calculamos
Passo 3
Pelo Teorema de Lagrange, qualquer raiz positiva r < 1 + Man = 1 + 1002 = 1 + 50 = 51 obedece
Ou seja, todos os zeros positivos de estão no intervalo .
Passo 4
Agora, para as raízes negativas, a gente olha P(-x)=2(-x)^5 -100(-x)^2 + 2(-x) -1 = -2x^5 -100x^2 -2x -1 = -l(2x^5 +100x^2 +2x +1r) . Fazendo a substituição:
x < 1 + 1002 = 51
No interior dos parênteses o coeficiente principal é e o maior módulo dos outros é de novo . Logo, as raízes positivas de (que correspondem às negativas de ) satisfazem
Isso significa que as raízes de que são negativas ficam em .