Use o método da bisseção para calcular um zero aproximado das seguintes funções a seguir com precisão epsilon=10^-3.
f(x)=4 cos (x)-e^x no intervalo [pi4, pi2].

Passo 1

Beleza, o problema é usar o método da bisseção pra achar um zero de
f(x)=4cos(x)-e^x
no intervalo com precisão .
Conteúdo: algoritmo de bisseção (ou “método do ponto médio”).
O que vamos precisar:
  • Avaliar nos extremos e no ponto médio.
  • Verificar mudança de sinal pra decidir qual subintervalo mantém a raiz.
  • Repetir até que o tamanho do intervalo seja menor que .

Passo 2

Primeiro olha os sinais nos extremos:
a = f(a)=4cos(0.7854)-e^0.7854approx2raiz2 -2.195approx+0.633, b = f(b)=4cos(1.5708)-e^1.5708=0 -4.810approx-4.810.
Como e , tem raiz dentro do intervalo.

Passo 3

A regra da bisseção é:
  1. Calcula .
  2. Se , a raiz está em ; senão em .
  3. Substitui o extremo adequado por .
  4. Para quando .
Vamos iterar até .

Passo 4

Iterações:
  1. m₁=(0.7854+1.5708)/2=1.1781,
    f(m₁)=4cos(1.1781)−e^{1.1781}≈1.531−3.248=−1.717 → raiz em [0.7854,1.1781].
  2. m₂=(0.7854+1.1781)/2=0.9817,
    f(m₂)≈2.221−2.669=−0.448 → raiz em [0.7854,0.9817].
  3. m₃=(0.7854+0.9817)/2=0.8836,
    f(m₃)≈2.536−2.419=+0.117 → raiz em [0.8836,0.9817].
  4. m₄=(0.8836+0.9817)/2=0.9326,
    f(m₄)≈2.382−2.541=−0.159 → raiz em [0.8836,0.9326].
  5. m₅=(0.8836+0.9326)/2=0.9081,
    f(m₅)≈2.463−2.478=−0.015 → raiz em [0.8836,0.9081].

Passo 5

Continuando até 10 iterações (pra garantir ):
6) m₆=0.8959, f≈+0.048 → [0.8959,0.9081]
7) m₇=0.9020, f≈+0.018 → [0.9020,0.9081]
8) m₈=0.9050, f≈+0.001 → [0.9050,0.9081]
9) m₉=0.9066, f≈−0.0079→ [0.9050,0.9066]
10) m₁₀=0.9058, f≈−0.0039→ [0.9050,0.9058]
Agora , dá pra parar.

Resposta

Um zero aproximado de xapprox 0.9050+0.90582=0.9054, no intervalo dado é
com precisão .

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