Use o método da bisseção para calcular um zero aproximado das seguintes funções a seguir com precisão
.
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, o problema é usar o método da bisseção pra achar um zero de
no intervalo
com precisão
.
Conteúdo: algoritmo de bisseção (ou “método do ponto médio”).
O que vamos precisar:
Conteúdo: algoritmo de bisseção (ou “método do ponto médio”).
O que vamos precisar:
- Avaliar
nos extremos e no ponto médio. - Verificar mudança de sinal pra decidir qual subintervalo mantém a raiz.
- Repetir até que o tamanho do intervalo seja menor que
.
Passo 2
Primeiro olha os sinais nos extremos:
a = , b =
.
a =
Como
e
, tem raiz dentro do intervalo.
Passo 3
A regra da bisseção é:
- Calcula
. - Se
, a raiz está em ; senão em . - Substitui o extremo adequado por
. - Para quando
.
Vamos iterar até
.
Passo 4
Iterações:
- m₁=(0.7854+1.5708)/2=1.1781,
f(m₁)=4cos(1.1781)−e^{1.1781}≈1.531−3.248=−1.717 → raiz em [0.7854,1.1781]. - m₂=(0.7854+1.1781)/2=0.9817,
f(m₂)≈2.221−2.669=−0.448 → raiz em [0.7854,0.9817]. - m₃=(0.7854+0.9817)/2=0.8836,
f(m₃)≈2.536−2.419=+0.117 → raiz em [0.8836,0.9817]. - m₄=(0.8836+0.9817)/2=0.9326,
f(m₄)≈2.382−2.541=−0.159 → raiz em [0.8836,0.9326]. - m₅=(0.8836+0.9326)/2=0.9081,
f(m₅)≈2.463−2.478=−0.015 → raiz em [0.8836,0.9081].
Passo 5
Continuando até 10 iterações (pra garantir
):
6) m₆=0.8959, f≈+0.048 → [0.8959,0.9081]
7) m₇=0.9020, f≈+0.018 → [0.9020,0.9081]
8) m₈=0.9050, f≈+0.001 → [0.9050,0.9081]
9) m₉=0.9066, f≈−0.0079→ [0.9050,0.9066]
10) m₁₀=0.9058, f≈−0.0039→ [0.9050,0.9058]
6) m₆=0.8959, f≈+0.048 → [0.8959,0.9081]
7) m₇=0.9020, f≈+0.018 → [0.9020,0.9081]
8) m₈=0.9050, f≈+0.001 → [0.9050,0.9081]
9) m₉=0.9066, f≈−0.0079→ [0.9050,0.9066]
10) m₁₀=0.9058, f≈−0.0039→ [0.9050,0.9058]
Agora
, dá pra parar.
Resposta
Um zero aproximado de
no intervalo dado é
com precisão
.