Use o método da bissecção para encontrar soluções, com precisão de até
para o seguinte problema.
para
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a raiz da função
no intervalo
usando o método da bissecção, com precisão até
.
Conteúdo: método numérico de bissecção.
O que vamos precisar:
Conteúdo: método numérico de bissecção.
O que vamos precisar:
- Verificar que
e têm sinais opostos (isso garante raiz no intervalo). - Repetir: calcular ponto médio
, avaliar , decidir em qual subintervalo a raiz fica, até .
Passo 2
Definimos
Calculamos os extremos:
-
-
Comoe , há raiz em . Vamos chamar e .
Passo 3
Agora, a cada iteração:
- Calculamos
. - Avaliamos
. - Se
, a raiz está em , então fazemos .
Caso contrário, ela está em, então . - Paramos quando
.
Exemplo das duas primeiras iterações:
- Iteração 1:
. Como , a raiz fica em . Então agora , . - Iteração 2:
. Agora , então a raiz está em . Fazemos , .
Passo 4
A gente repete esse processo—sempre dividindo o intervalo ao meio—e a cada passo o comprimento
fica pela metade.
Teoria rápida: a cada iteração o erro máximo em relação à raiz verdadeira cai pela metade, então em
Teoria rápida: a cada iteração o erro máximo em relação à raiz verdadeira cai pela metade, então em
iterações a gente garante
. Aqui
,
, dá
.
Passo 5
Após cerca de 17 iterações, a gente chega a um intervalo
tão pequeno que
. O ponto médio final será nossa raiz aproximada. Fizendo isso (ou programando rapidinho), encontra-se
com
.
Resposta
A raiz de
em
, obtida pelo método da bissecção com precisão
, é aproximadamente