Use o método da bissecção para encontrar soluções, com precisão de até 10^-5 para o seguinte problema.
3 x-e^x=0 para 1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a raiz da função
f(x) = 3x - e^x
no intervalo usando o método da bissecção, com precisão até .
Conteúdo: método numérico de bissecção.
O que vamos precisar:
  • Verificar que e têm sinais opostos (isso garante raiz no intervalo).
  • Repetir: calcular ponto médio , avaliar , decidir em qual subintervalo a raiz fica, até .

Passo 2

Definimos
f(x) = 3x - e^x
Calculamos os extremos:

  • Como e , há raiz em . Vamos chamar e .

Passo 3

Agora, a cada iteração:
  1. Calculamos f(1,5) = 3cdot1,5 - e^1,5 approx 4,5 - 4,48169 = +0,01831 .
  2. Avaliamos f(1,75) approx 5,25 - 5,753 = -0,503 .
  3. Se , a raiz está em , então fazemos .
    Caso contrário, ela está em , então .
  4. Paramos quando .
Exemplo das duas primeiras iterações:
  • Iteração 1: . Como , a raiz fica em . Então agora , .
  • Iteração 2: . Agora , então a raiz está em . Fazemos , .

Passo 4

A gente repete esse processo—sempre dividindo o intervalo ao meio—e a cada passo o comprimento N approx log(b0 - a0varepsilon)log(2) fica pela metade.
Teoria rápida: a cada iteração o erro máximo em relação à raiz verdadeira cai pela metade, então em
iterações a gente garante . Aqui , , dá .

Passo 5

Após cerca de 17 iterações, a gente chega a um intervalo x approx 1,51213 tão pequeno que . O ponto médio final será nossa raiz aproximada. Fizendo isso (ou programando rapidinho), encontra-se
com .

Resposta

A raiz de boxedx approx 1,51213 em , obtida pelo método da bissecção com precisão , é aproximadamente

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