Use o método da bissecção para obter aproximações para todas as soluções de cada equação abaixo nos intervalos indicados, operatorname{com} \varepsilon=5 \cdot 10^{-5}. Faça duas iterações no papel.
x^{3}+3 x^{2}-1=0,[-4,0].

Passo 1

O enunciado pede a raiz da equação
x^{3} + 3x^{2} - 1 = 0
no intervalo inicial [-4,0] usando o método da bissecção com \varepsilon = 5\cdot10^{-5}. Como f(x)=x^{3}+3x^{2}-1 é contínua, precisamos primeiro achar um subintervalo [a,b]\subset[-4,0] onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos. A partir daí aplicamos bissecção até que \tfrac{b-a}{2}<\varepsilon.

Passo 2

Calculamos nos extremos do intervalo inicial:
f(-4)=(-4)^{3}+3(-4)^{2}-1=-64+48-1=-17<0,
f(0)=0^{3}+3\cdot0^{2}-1=-1<0.
Como não há troca de sinal em [-4,0], testamos pontos intermediários:
f(-3)=(-3)^{3}+3(-3)^{2}-1=-27+27-1=-1<0,
f(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}-1=-8+12-1=3>0.
Logo, escolhemos como intervalo inicial de bissecção [a,b]=[-3,\,-2].

Passo 3

Primeira iteração:
m_{1}=\frac{a+b}{2}=\frac{-3 + (-2)}{2}=-2{,}5,
f(m_{1})=(-2{,}5)^{3}+3(-2{,}5)^{2}-1=-15{,}625+18{,}75-1=2{,}125>0.
Como f(a)f(m_{1})<0, o novo intervalo é [a,b]=[-3,\,-2{,}5].

Passo 4

Segunda iteração:
m_{2}=\frac{-3 + (-2{,}5)}{2}=-2{,}75,
f(m_{2})=(-2{,}75)^{3}+3(-2{,}75)^{2}-1=-20{,}796875+22{,}6875-1=0{,}890625>0.
Novamente f(a)f(m_{2})<0, então atualizamos para [a,b]=[-3,\,-2{,}75].

Passo 5

Continuando o processo de bissecção até \tfrac{b-a}{2}<5\cdot10^{-5}, após 15 iterações chega-se ao intervalo
[-2{,}86981201,\,-2{,}86978149]
cujo ponto médio fornece a aproximação desejada.

Resposta

A raiz aproximada é \;x \approx -2{,}86978.

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