Use o método da bissecção para obter aproximações para todas as soluções de cada equação abaixo nos intervalos indicados, operatorname{com} \varepsilon=5 \cdot 10^{-5}. Faça duas iterações no papel.
x-\cos x=0,\left[0, \frac{\pi}{2}\right].

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a solução de
x-\cos x = 0
no intervalo \left[0,\frac{\pi}{2}\right] usando o método da bissecção com tolerância \varepsilon=5\cdot10^{-5}. Vamos definir
f(x) = x - \cos x,
observar que f é contínua e aplicar o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de raiz em [0,\pi/2].

Passo 2

Calculamos os valores de f nas extremidades:
f(0)=0-\cos(0)=-1,
f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708.
Como f(0)\cdot f(\pi/2)<0, há pelo menos uma raiz em [0,\pi/2].

Passo 3

Primeira iteração:
m_{1}=\frac{0+\tfrac{\pi}{2}}{2}=\frac{\pi}{4}\approx0{,}7854,
f(m_{1})=\frac{\pi}{4}-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\approx0{,}7854-0{,}7071=0{,}0783>0.
Como f(m_{1}) tem mesmo sinal que f(\pi/2), a raiz está em \bigl[0,m_{1}\bigr]=\bigl[0,\tfrac{\pi}{4}\bigr].

Passo 4

Segunda iteração:
m_{2}=\frac{0+\tfrac{\pi}{4}}{2}=\frac{\pi}{8}\approx0{,}3927,
f(m_{2})=\frac{\pi}{8}-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)\approx0{,}3927-0{,}9239=-0{,}5312<0.
Agora f(m_{2}) tem mesmo sinal que f(0), logo a raiz está em \bigl[m_{2},\tfrac{\pi}{4}\bigr]=\bigl[\tfrac{\pi}{8},\tfrac{\pi}{4}\bigr].

Passo 5

Para atingir \varepsilon=5\cdot10^{-5} continuamos as iterações até que
\frac{b-a}{2}<\varepsilon.
Aplicando o processo repetidamente (ou auxiliando-nos de cálculo numérico), chegamos à aproximação
x\approx0{,}739085
com erro menor que 5\cdot10^{-5}.

Resposta

A raiz da equação x-\cos x=0 em [0,\pi/2] aproximada por bissecção é
x\approx0{,}73909.

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