Verifique que para a função f(x)=\frac{4 x-7}{x-2} temos f(1.8) f(3)<0. É possível usar o método da bissecção para determinar zeros de f no intervalo [1.8, 3]? Explique.

Passo 1

Temos a função
f(x)=\frac{4x-7}{\,x-2\,}
e queremos verificar que \,f(1.8)\,f(3)<0 e decidir se é possível aplicar o método da bissecção em [1.8,3]. Para usar bissecção é preciso que f seja contínua em [1.8,3] e que haja mudança de sinal motivada por um zero no intervalo.

Passo 2

Calculamos
f(1.8)=\frac{4\cdot1.8-7}{1.8-2}=\frac{7.2-7}{-0.2}=\frac{0.2}{-0.2}=-1,
e
f(3)=\frac{4\cdot3-7}{3-2}=\frac{12-7}{1}=5.
Multiplicando os valores,
f(1.8)\,f(3)=(-1)\times5=-5<0,
logo há de fato uma mudança de sinal entre x=1.8 e x=3.

Passo 3

Entretanto, a função f é racional com denominador x-2, que se anula em x=2. Como 2\in(1.8,3), f não é contínua em [1.8,3].
Para ver onde está o zero de f, resolvemos
\frac{4x-7}{x-2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x-7=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{7}{4}=1.75.

Passo 4

O zero \,x=1.75 fica fora do intervalo [1.8,3]. A mudança de sinal observada em [1.8,3] ocorre por causa da descontinuidade (assíntota vertical) em x=2, não por um zero de f nesse intervalo.
O método da bissecção exige que f seja contínua em [a,b] e que exista um zero em (a,b). Aqui, embora f(1.8)\,f(3)<0, a descontinuidade em x=2 e a ausência de zero em [1.8,3] impedem o uso do método.

Resposta

Não. A bissecção não pode ser aplicada porque f não é contínua em [1.8,3] (há polo em x=2) e o único zero de f ( x=1.75) está fora desse intervalo.

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