Use o método de Euler com h=0,11 para determinar um valor aproximado para y(5+3 \times 0,11), onde y(x) é a solução exata do PVI abaixo.
\left\{\begin{array}{c} x y^{\prime}-(1+x) y=0 \\\ y(5)=4 \end{array}\right.
Resposta:

Passo 1

O enunciado pede para aproximar y(5+3\times0,11)=y(5,33) usando o método de Euler com passo h=0,11, onde a solução exata satisfaz o PVI
\begin{cases} x\,y'-(1+x)\,y=0,\\\ y(5)=4. \end{cases}
Reescrevendo a equação diferencial em forma normal, temos
y' = \frac{1+x}{x}\,y.
Vamos aplicar o método de Euler, que é um método de passo único para aproximar soluções de EDOs.

Passo 2

No método de Euler, definimos a sequência
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde f(x,y)=\dfrac{1+x}{x}\,y, e x_{n+1}=x_n+h. Começamos em
x_0 = 5,\quad y_0=4,
e faremos três iterações para chegar a x_3=5+3h=5,33.

Passo 3

Primeira iteração n=0 para n=1: x_1 = x_0 + h = 5 + 0,11 = 5,11.
Calculamos
f(x_0,y_0) = \frac{1+5}{5}\times 4 = \frac{6}{5}\times4 = 4,8.
Logo
y_1 = y_0 + 0,11 \times 4,8 = 4 + 0,528 = 4,528.

Passo 4

Segunda iteração n=1 para n=2: x_2 = x_1 + h = 5,11 + 0,11 = 5,22.
Calculamos
f(x_1,y_1) = \frac{1+5,11}{5,11}\times 4,528 \approx 1,19570 \times 4,528 \approx 5,41405.
Assim
y_2 = y_1 + 0,11 \times 5,41405 \approx 4,528 + 0,59555 = 5,12355.

Passo 5

Terceira iteração n=2 para n=3: x_3 = x_2 + h = 5,22 + 0,11 = 5,33.
Calculamos
f(x_2,y_2) = \frac{1+5,22}{5,22}\times 5,12355 \approx 1,19157 \times 5,12355 \approx 6,10428.
Portanto
y_3 = y_2 + 0,11 \times 6,10428 \approx 5,12355 + 0,67147 = 5,79502.

Resposta

A aproximação pelo método de Euler em x=5,33 é
y(5,33)\approx 5,7950.

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