Use a Regra dos Trapézios Repetida, com o menor n (número de subintervalos) possível, para calcular uma aproximação da integral \int_{-1,33}^{-1,33+1} x e^{x^{3}} d x de modo a garantir um erro inferior a 0,005.
Observação: Para garantir maior precisão, trabalhe com seis casas decimais nesta questão. Ao final, escolha a opção mais próxima da sua resposta.
a. -0,3714
b. -0,2011
c. -0,3743
d. -0,3737
e. -0,3750

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{-1,33}^{-0,33} x\,e^{x^3}\,dx
usando a Regra dos Trapézios Repetida de modo que o erro seja menor que 0,005. Precisamos (i) obter a fórmula do erro do Trapézio Repetido, (ii) achar um majorante para \lvert f''(x)\rvert em [-1,33,-0,33], (iii) determinar o menor n que garante o erro pedido e (iv) calcular a soma dos trapézios com esse n.

Passo 2

Seja f(x)=x\,e^{x^3}. A Regra dos Trapézios Repetida com n subintervalos de largura h=(b-a)/n
T_n = h\Bigl(\tfrac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Bigr)
e o erro satisfaz
\lvert E_T\rvert \le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,\max_{x\in[a,b]}\bigl\lvert f''(x)\bigr\rvert.

Passo 3

Calculamos
f'(x)=e^{x^3}(1+3x^3),\qquad f''(x)=e^{x^3}(12x^2+9x^5).
No intervalo [-1,33,-0,33] encontramos numericamente
\max_{x}\lvert f''(x)\rvert\approx1,55.

Passo 4

Como b-a=1, a condição do erro <0,005 é
\frac{1^3}{12\,n^2}\,1{,}55 \le 0{,}005 \;\Longrightarrow\; n^2 \ge \frac{1{,}55}{12\cdot0{,}005} \approx25{,}8 \;\Longrightarrow\; n\ge6.
Tomamos n=6.

Passo 5

Com n=6 temos h=\tfrac{1}{6}\approx0,166667 e os nós
x_i = -1,33 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,6.
Calculando f(x_i)=x_i e^{x_i^3} com seis casas decimais e aplicando
T_6 = \frac{1}{6}\Bigl(\tfrac{f(x_0)+f(x_6)}{2}+\sum_{i=1}^{5}f(x_i)\Bigr) \approx -0,372833.

Passo 6

Comparando com as opções, o valor mais próximo de -0,372833 é -0,3737, que é a alternativa (d).

Resposta

d. -0,3737

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