Use o método de Euler com h=0,30 para determinar um valor aproximado para y(4,8+3 \times 0,30), onde y(x) é a solução exata do PVI abaixo.
\left\{\begin{array}{c} e^{4 x} y^{\prime}+(-5) x+(7) y=0, \\\ y(4,8)=-4,9 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} e^{4x}\,y'(x)-5x+7y(x)=0,\\\ y(4,8)=-4,9, \end{cases}
pede-se aproximar y(4,8+3\cdot0,30)=y(5,7) usando o método de Euler com passo h=0,30. O conteúdo é resolução numérica de EDO pelo método de Euler, que exige reescrever a EDO como
y'=f(x,y)
e iterar
x_{n+1}=x_n+h,\quad y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n).

Passo 2

Isolamos y'. Da equação
e^{4x}y' -5x+7y=0
vem
e^{4x}y'=5x-7y
logo
y' = f(x,y) = (5x-7y)\,e^{-4x}.
Usaremos
x_0=4,8,\quad y_0=-4,9,\quad h=0,30,
e queremos y_3 em x_3=4,8+3\cdot0,30=5,7.

Passo 3

Iteração n=0\to1:
f(x_0,y_0)=(5\cdot4,8-7\cdot(-4,9))\,e^{-4\cdot4,8} =(24+34,3)\,e^{-19,2} =58,3\,e^{-19,2}\approx2,67\times10^{-7},
y_1=y_0+h\,f(x_0,y_0) =-4,9+0,30\cdot2,67\times10^{-7} \approx-4,89999992.

Passo 4

Iteração n=1\to2:
x_1=5,1,\quad y_1\approx-4,89999992,
f(x_1,y_1)=(5\cdot5,1-7\cdot(-4,89999992))\,e^{-4\cdot5,1} =(25,5+34,3)\,e^{-20,4} =59,8\,e^{-20,4}\approx8,26\times10^{-8},
y_2=y_1+0,30\cdot8,26\times10^{-8} \approx-4,89999990.

Passo 5

Iteração n=2\to3:
x_2=5,4,\quad y_2\approx-4,89999990,
f(x_2,y_2)=(5\cdot5,4-7\cdot(-4,89999990))\,e^{-4\cdot5,4} =(27+34,3)\,e^{-21,6} =61,3\,e^{-21,6}\approx2,55\times10^{-8},
y_3=y_2+0,30\cdot2,55\times10^{-8} \approx-4,89999989.

Resposta

Aproximando com três passos de Euler,
y(5,7)\approx y_3\approx -4,89999989\approx -4,9.

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