Use o método de Euler com h=0,2 para determinar um valor aproximado para y(4+3 \times 0,2), onde y(x) é a solução exata do PVI abaixo.
\left\{\begin{array}{c} x y^{\prime}-(1+x) y=0 \\\ y(4)=8,8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x\,y' - (1+x)\,y = 0,\quad y(4)=8,8
e pede uma aproximação de y(4+3\cdot0,2)=y(4,6) pelo método de Euler com passo h=0,2.
Conteúdo: resolver numericamente um PVI de primeira ordem usando método explícito de Euler.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
y' = f(x,y).
Da equação original temos
x\,y' = (1+x)\,y \quad\Longrightarrow\quad y' = \bigl(1 + \tfrac1x\bigr)\,y.
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f(x,y) = \Bigl(1 + \tfrac1x\Bigr)\,y \quad\text{e}\quad y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n).

Passo 3

Definimos x_0=4, y_0=8,8 e fazemos três iterações de Euler com h=0,2 para chegar a x_3=4,6.

Passo 4

Para n=0: x_0=4, y_0=8,8.
f(x_0,y_0) = \Bigl(1 + \tfrac1{4}\Bigr)\cdot 8,8 = 1,25\cdot8,8 = 11.
Então
y_1 = y_0 + 0,2\cdot 11 = 8,8 + 2,2 = 11.
E x_1 = x_0 + 0,2 = 4,2.

Passo 5

Para n=1: x_1=4,2, y_1=11.
f(x_1,y_1) = \Bigl(1 + \tfrac1{4,2}\Bigr)\cdot 11 \approx 1,238095\cdot11 \approx 13,61905.
y_2 = 11 + 0,2\cdot13,61905 \approx 11 + 2,72381 = 13,72381.
E x_2 = 4,4.

Passo 6

Para n=2: x_2=4,4, y_2\approx13,72381.
f(x_2,y_2) = \Bigl(1 + \tfrac1{4,4}\Bigr)\cdot13,72381 \approx 1,227273\cdot13,72381 \approx16,8424.
y_3 = 13,72381 + 0,2\cdot16,8424 \approx 13,72381 + 3,36848 = 17,09229.
E x_3 = 4,6.

Resposta

A aproximação pelo método de Euler para y(4,6) é
y(4,6)\approx17,0923.

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