Resolva f(x)=\cos (x)-x^{2} no intervalo [0,1] com o método da bisseção. Mostre os valores intermediários e pare quando o erro relativo for menor que 0,5 \%.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de
f(x) = \cos(x) - x^2
no intervalo [0,1] usando o método da bisseção e parar quando o erro relativo \varepsilon_r for menor que 0,5\%. Vamos precisar de:
  • Verificar que f(0) e f(1) têm sinais opostos.
  • Iterar bisecando o intervalo e calculando
x_{\text{m}} = \frac{a+b}{2},\quad f(x_{\text{m}})
  • Atualizar o intervalo [a,b] escolhendo o subintervalo onde o sinal de f muda.
  • Calcular o erro relativo
\varepsilon_r = \left\lvert \frac{x_{\text{m}}^{(k)} - x_{\text{m}}^{(k-1)}}{x_{\text{m}}^{(k)}}\right\rvert \times 100\%.
  • Parar quando \varepsilon_r<0,5\%.

Passo 2

Verificamos os extremos:
f(0) = \cos(0) - 0^2 = 1, \quad f(1) = \cos(1) - 1^2 \approx 0{,}5403 - 1 = -0{,}4597.
Como f(0)\cdot f(1)<0, há pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

Iteração 1: a_1=0, b_1=1,
x_{\text{m},1} = \tfrac{0+1}{2} = 0,5, \quad f(0,5) = \cos(0,5) - 0,5^2 \approx 0{,}8776 - 0{,}25 = 0{,}6276>0.
Como f(0{,}5) e f(1) têm sinais opostos, o novo intervalo é [0{,}5,1]. Erro não é calculado na primeira iteração.

Passo 4

Iteração 2: a_2=0{,}5, b_2=1,
x_{\text{m},2} = \tfrac{0{,}5+1}{2} = 0{,}75, \quad f(0,75) \approx \cos(0,75) - 0{,}75^2 \approx 0{,}7317 - 0{,}5625 = 0{,}1692>0.
Raiz em [0{,}75,1].
\varepsilon_r = \Bigl\lvert\tfrac{0{,}75 - 0{,}5}{0{,}75}\Bigr\rvert\times100\%\approx33{,}33\%.

Passo 5

Iteração 3: a_3=0{,}75, b_3=1,
x_{\text{m},3} = 0{,}875, \quad f(0,875)\approx \cos(0,875)-0,875^2\approx0{,}6409-0{,}7656=-0{,}1247<0.
Raiz em [0{,}75,0{,}875].
\varepsilon_r = \Bigl\lvert\tfrac{0{,}875-0{,}75}{0{,}875}\Bigr\rvert\times100\%\approx14{,}29\%.

Passo 6

Iteração 4: a_4=0{,}75, b_4=0{,}875,
x_{\text{m},4}=0{,}8125, \quad f(0,8125)\approx \cos(0,8125)-0,8125^2\approx0{,}6878-0{,}6602=0{,}0276>0.
Raiz em [0{,}8125,0{,}875].
\varepsilon_r = \Bigl\lvert\tfrac{0{,}8125-0{,}875}{0{,}8125}\Bigr\rvert\times100\%\approx7{,}69\%.

Passo 7

Iteração 5: a_5=0{,}8125, b_5=0{,}875,
x_{\text{m},5}=0{,}84375, \quad f(0,84375)\approx \cos(0,84375)-0,84375^2\approx0{,}6650-0{,}7119=-0{,}0469<0.
Raiz em [0{,}8125,0{,}84375].
\varepsilon_r = \Bigl\lvert\tfrac{0{,}84375-0{,}8125}{0{,}84375}\Bigr\rvert\times100\%\approx3{,}57\%.

Passo 8

Iteração 6: a_6=0{,}8125, b_6=0{,}84375,
x_{\text{m},6}=0{,}828125, \quad f(0,828125)\approx \cos(0,828125)-0,828125^2\approx0{,}6774-0{,}6854=-0{,}0080<0.
Raiz em [0{,}8125,0{,}828125].
\varepsilon_r = \Bigl\lvert\tfrac{0{,}828125-0{,}84375}{0{,}828125}\Bigr\rvert\times100\%\approx1{,}89\%.

Passo 9

Iteração 7: a_7=0{,}8125, b_7=0{,}828125,
x_{\text{m},7}=0{,}8203125, \quad f(0,8203125)\approx \cos(0,8203125)-0,8203125^2\approx0{,}6819-0{,}6729=0{,}0090>0.
Raiz em [0{,}8203125,0{,}828125].
\varepsilon_r = \Bigl\lvert\tfrac{0{,}8203125-0{,}828125}{0{,}8203125}\Bigr\rvert\times100\%\approx0{,}93\%.

Passo 10

Iteração 8: a_8=0{,}8203125, b_8=0{,}828125,
x_{\text{m},8}=0{,}82421875, \quad f(0,82421875)\approx \cos(0,82421875)-0,82421875^2\approx0{,}6794-0{,}6794=0{,}0000>0.
Raiz em [0{,}82421875,0{,}828125].
\varepsilon_r = \Bigl\lvert\tfrac{0{,}82421875-0{,}8203125}{0{,}82421875}\Bigr\rvert\times100\%\approx0{,}47\%<0,5\%.
Como o erro relativo já é menor que 0,5\%, paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada é
x \approx 0{,}82421875.

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