Use o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema e verificar se há infinitas soluções:
Passo 1
Então, o enunciado tá assim: a gente tem o sistema
x + y + z = 5, 2x + 3y + 3z = 10, 4x + 7y + 7z = 20,
e o que precisamos aplicar aqui é o método de Gauss–Jordan (ou eliminação de Gauss melhorada). Vamos usar operações de linha pra chegar numa forma mais simples (a forma reduzida) e ver se o sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas.
O que vai entrar em jogo:
Montar a matriz aumentada do sistema.
Usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de linhas).
Encontrar pivôs (colunas principais) e identificar variáveis livres.
Passo 2
Primeiro a gente monta a matriz aumentada [ccc|c 1 & 1 & 1 & 5 2 & 3 & 3 & 10 4 & 7 & 7 & 20 ] :
A ideia do método de Gauss–Jordan é zerar tudo que estiver abaixo e acima dos pivôs, deixando cada linha com exatamente um “1” pivot e zeros nos outros lugares da coluna.
Então, começamos zerando os elementos da coluna 1, abaixo do primeiro pivô (que já é o na posição (1,1)):
- L2 ← L2 − 2·L1
- L3 ← L3 − 4·L1
Fazendo as contas:
L2:
L3:
Agora a matriz é
Passo 3
Próximo pivô é o [ccc|c 1 & 1 & 1 & 5 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ] na posição (2,2). A gente zera o elemento abaixo dele:
- L3 ← L3 − 3·L2
L3: .
Agora a matriz virou
Repara que a terceira linha ficou toda zero. Isso quer dizer que o sistema tem uma linha redundante e, portanto, vai ter infinitas soluções (já que temos 3 incógnitas e só 2 pivôs). A variável correspondente à coluna 3 (o ) é livre. Vamos chamar .
Passo 4
Ainda falta zerar acima dos pivôs pra ficar em forma reduzida (RREF).