Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema linear 3×3:
O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente o método de eliminação de Gauss. A ideia geral é transformar o sistema num triângulo superior (zeros abaixo da diagonal principal) e, depois, usar substituição para achar as incógnitas. Vamos primeiro fazer sem pivoteamento parcial, explicando tudo passo a passo, e depois repetimos trocando linhas quando for melhor (pivoteamento parcial).
Passo 2
- Escreve a matriz aumentada:
- Queremos zerar as entradas abaixo de
. O multiplicador pra linha 2 ém21 = a21a11 = 12,
então fazemos L2 ← L2 −
m31 = a31a11 = 32, ·L1:
- Nova L2:
- Na linha 3,
L3 ← L3 −
m32 = a32a22 = 2.54.5 = tfrac59 ·L1:
Agora a matriz é
- Próximo pivô é
. Zeramos abaixo dele em L3:
Faz L3 ← L3 −
·L2:
Calculando:
Então a forma triangular é
Então a forma triangular é
Passo 3
- Da última linha:
- Da segunda linha:
Fazendo conta:
x2 = tfrac5491704.5 = 549170cdot4.5 = 549765 = 183255 = 6185
2,x1 - x2 + 3,x3 = 7 ;Longrightarrow; x1 = 7 + x2 - 3x32 = 7 + tfrac6185 - 3cdottfrac124852
então numerador 7 = tfrac59585, tfrac6185 - tfrac37285 = -tfrac31185, .
então numerador
- Da primeira linha:
Fazendo a conta dentro:
então numerador
.
Passo 4
Para melhorar a estabilidade, em cada etapa a gente troca a linha atual por aquela que tiver o maior módulo na coluna de pivô.
- Na coluna 1, comparo |2|,|1|,|3|: o maior é 3 (linha 3), então troco L1↔L3. Aumentada vira
- Faço eliminação igual antes: multipliers
, zera abaixo em coluna 1.x1 = 14285, x2 = 6185, x3 = 12485 - Depois, na segunda etapa, escolho pivô da coluna 2 entre as linhas 2 e 3 resultantes, trocaria se necessário.
- No fim, chego de novo a um sistema triangular que, após substituição, dá exatamente
O pivoteamento não muda a solução, só deixa o método mais estável.