Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
l 2 x1-x2+3 x3=7 x1+4 x2+x3=6 3 x1+x2-x3=5

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema linear 3×3:
2x1 - x2 + 3x3 = 7, x1 + 4x2 + x3 = 6, 3x1 + x2 - x3 = 5
O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente o método de eliminação de Gauss. A ideia geral é transformar o sistema num triângulo superior (zeros abaixo da diagonal principal) e, depois, usar substituição para achar as incógnitas. Vamos primeiro fazer sem pivoteamento parcial, explicando tudo passo a passo, e depois repetimos trocando linhas quando for melhor (pivoteamento parcial).

Passo 2

  1. Escreve a matriz aumentada:
[ccc|c 2 & -1 & 3 & 7 1 & 4 & 1 & 6 3 & 1 & -1 & 5 ]
  1. Queremos zerar as entradas abaixo de m21 = a21a11 = 12, . O multiplicador pra linha 2 é
l[,1 - tfrac12cdot2,;4 - tfrac12cdot(-1),;1 - tfrac12cdot3 mid 6 - tfrac12cdot7,r] = [0,;4.5,;-0.5mid2.5]
então fazemos L2 ← L2 − m31 = a31a11 = 32, ·L1:
  • Nova L2:
[,3 - tfrac32cdot2,;1 - tfrac32cdot(-1),;-1 - tfrac32cdot3 mid 5 - tfrac32cdot7,] = [0,;2.5,;-5.5mid -5.5]
  1. Na linha 3,
[ccc|c 2 & -1 & 3 & 7 0 & 4.5 & -0.5 & 2.5 0 & 2.5 & -5.5 & -5.5 ]
L3 ← L3 − m32 = a32a22 = 2.54.5 = tfrac59 ·L1:
[,0,;2.5 - tfrac59cdot4.5,;-5.5 - tfrac59cdot(-0.5)mid -5.5 - tfrac59cdot2.5,] = [0,;0,;-5 + tfrac518mid -5.5 - tfrac2518]
Agora a matriz é
[ccc|c 2 & -1 & 3 & 7 0 & 4.5 & -0.5 & 2.5 0 & 0 & -tfrac8518 & -tfrac12418 ]
  1. Próximo pivô é . Zeramos abaixo dele em L3:
Faz L3 ← L3 − ·L2:
Calculando:

Então a forma triangular é

Passo 3

  1. Da última linha:
-8518x3 = -12418 Longrightarrow x3 = 12485
  1. Da segunda linha:
4.5,x2 -0.5,x3 = 2.5 Longrightarrow x2 = 2.5 + 0.5,x34.5 = 2.5 + 0.5cdot124854.5
Fazendo conta:
x2 = tfrac5491704.5 = 549170cdot4.5 = 549765 = 183255 = 6185
2,x1 - x2 + 3,x3 = 7 ;Longrightarrow; x1 = 7 + x2 - 3x32 = 7 + tfrac6185 - 3cdottfrac124852
então numerador 7 = tfrac59585, tfrac6185 - tfrac37285 = -tfrac31185, .
x1 = tfrac284852 = 284170 = 14285
  1. Da primeira linha:
Fazendo a conta dentro:
então numerador .

Passo 4

Para melhorar a estabilidade, em cada etapa a gente troca a linha atual por aquela que tiver o maior módulo na coluna de pivô.
  1. Na coluna 1, comparo |2|,|1|,|3|: o maior é 3 (linha 3), então troco L1↔L3. Aumentada vira
[ccc|c 3 & 1 & -1 & 5 1 & 4 & 1 & 6 2 & -1 & 3 & 7 ]
  1. Faço eliminação igual antes: multipliers x1 = 14285, x2 = 6185, x3 = 12485 , zera abaixo em coluna 1.
  2. Depois, na segunda etapa, escolho pivô da coluna 2 entre as linhas 2 e 3 resultantes, trocaria se necessário.
  3. No fim, chego de novo a um sistema triangular que, após substituição, dá exatamente
O pivoteamento não muda a solução, só deixa o método mais estável.

Resposta

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