Use o método da bissecção para determinar \sqrt[5]{7} com precisão da ordem de 10^{-4}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Queremos determinar \sqrt[5]{7}, ou seja o número x tal que x^5=7.
  • O método exigido é o método da bissecção.
  • A precisão pedida é da ordem de 10^{-4} (ou seja, erro absoluto máximo aproximadamente 10^{-4}).
  • Informação útil imediata que obtém-se do enunciado: podemos trabalhar com a função f(x)=x^5-7,cujo zero procuramos.

Passo 2

Escolher um intervalo inicial [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (isso garante, pela continuidade, que há uma raiz no intervalo). Calcule:
  • f(1)=1^5-7=-6<0.
  • f(2)=2^5-7=32-7=25>0.
Portanto há pelo menos uma raiz de f em [1,2]. Vamos aplicar bissecção nesse intervalo.

Passo 3

Explicando o método da bissecção (passo-a-passo didático):
  • Dado um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0, calcula-se o ponto médio m=\frac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f(m). Se f(m)=0 então m é a raiz; se f(m)\cdot f(a)<0 a raiz está em [a,m]; caso contrário está em [m,b].
  • Repetir o processo para o novo intervalo até que o comprimento do intervalo seja suficientemente pequeno.
  • Erro garantido: após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^n}, logo a estimativa do erro absoluto ao usar o ponto médio é no máximo \frac{b-a}{2^{n+1}} \le \frac{b-a}{2^n}.
  • Para garantir erro ≤ 10^{-4} em [1,2] (onde b-a=1) precisamos de n tal que \frac{1}{2^n}\le 10^{-4}\quad\Longrightarrow\quad n\ge \log_2(10^4)=\log_2(10^{4})\approx 13{,}2877.
  • Logo n=14 iterações são suficientes (pois com n=14 temos \dfrac{1}{2^{14}}=\dfrac{1}{16384}\approx 6{,}10\times10^{-5}<10^{-4}).
Vamos então fazer as iterações (realizando 14 iterações) e manter, em cada passo, o par [a,b], o ponto médio m e o sinal de f(m). Quando possível eu mostro o valor aproximado de f(m)=m^5-7 para entender o motivo da escolha do subintervalo.

Passo 4

Intervalo inicial: a_0=1, b_0=2.
  • m_1=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5.
  • Calcule m_1^5=1{,}5^5=7{,}59375. Logo f(m_1)=7{,}59375-7=0{,}59375>0.
  • Como f(1)<0 e f(m_1)>0, a raiz está em [1,1{,}5].
    Novo intervalo: [a_1,b_1]=[1,1{,}5].

Passo 5

  • m_2=\dfrac{1+1{,}5}{2}=1{,}25.
  • m_2^5=1{,}25^5=3{,}0517578125. Logo f(m_2)=3{,}0517578125-7=-3{,}9482421875<0.
  • Sinal oposto entre m_2 e b_1 ( f(m_2)<0,\\ f(1{,}5)>0), então a raiz está em [1{,}25,1{,}5].
    Novo intervalo: [a_2,b_2]=[1{,}25,1{,}5].

Passo 6

  • m_3=\dfrac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375.
  • m_3^5=1{,}375^5\approx4{,}91522216796875. Logo f(m_3)\approx-2{,}08477783203125<0.
  • Raiz em [1{,}375,1{,}5].
    Novo intervalo: [a_3,b_3]=[1{,}375,1{,}5].

Passo 7

  • m_4=\dfrac{1{,}375+1{,}5}{2}=1{,}4375.
  • m_4^5\approx6{,}138159751. Logo f(m_4)\approx-0{,}861840249<0.
  • Raiz em [1{,}4375,1{,}5].
    Novo intervalo: [a_4,b_4]=[1{,}4375,1{,}5].

Passo 8

  • m_5=\dfrac{1{,}4375+1{,}5}{2}=1{,}46875.
  • m_5^5\approx6{,}8348 (aprox.). Logo f(m_5)\approx -0{,}1652<0.
  • Raiz em [1{,}46875,1{,}5].
    Novo intervalo: [a_5,b_5]=[1{,}46875,1{,}5].

Passo 9

  • m_6=\dfrac{1{,}46875+1{,}5}{2}=1{,}484375.
  • m_6^5\approx7{,}2064. Logo f(m_6)\approx0{,}2064>0.
  • Como f(a_5)<0 e f(m_6)>0, raiz em [1{,}46875,1{,}484375].
    Novo intervalo: [a_6,b_6]=[1{,}46875,1{,}484375].

Passo 10

  • m_7=\dfrac{1{,}46875+1{,}484375}{2}=1{,}4765625.
  • Cálculo exato via frações dá m_7^5\approx7{,}018739751. Logo f(m_7)\approx0{,}018739751>0.
  • Raiz em [1{,}46875,1{,}4765625].
    Novo intervalo: [a_7,b_7]=[1{,}46875,1{,}4765625].

Passo 11

  • m_8=\dfrac{1{,}46875+1{,}4765625}{2}=1{,}47265625.
  • Cálculo exato dá m_8^5\approx6{,}926297. Logo f(m_8)\approx-0{,}073703<0.
  • Raiz em [1{,}47265625,1{,}4765625].
    Novo intervalo: [a_8,b_8]=[1{,}47265625,1{,}4765625].

Passo 12

  • m_9=\dfrac{1{,}47265625+1{,}4765625}{2}=1{,}474609375.
  • Estimativa por interpolação/avaliação numérica: m_9^5\approx6{,}9725. Logo f(m_9)\approx-0{,}0275<0.
  • Raiz em [1{,}474609375,1{,}4765625].
    Novo intervalo: [a_9,b_9]=[1{,}474609375,1{,}4765625].

Passo 13

  • m_{10}=\dfrac{1{,}474609375+1{,}4765625}{2}=1{,}4755859375.
  • Avaliação numérica aproximada: m_{10}^5\approx6{,}99563. Logo f(m_{10})\approx-0{,}00437<0.
  • Raiz em [1{,}4755859375,1{,}4765625].
    Novo intervalo: [a_{10},b_{10}]=[1{,}4755859375,1{,}4765625].

Passo 14

  • m_{11}=\dfrac{1{,}4755859375+1{,}4765625}{2}=1{,}47607421875.
  • Avaliação aproximada dá m_{11}^5\approx7{,}0009075. Logo f(m_{11})\approx0{,}0009075>0.
  • Raiz em [1{,}4755859375,1{,}47607421875].
    Novo intervalo: [a_{11},b_{11}]=[1{,}4755859375,1{,}47607421875].

Passo 15

  • m_{12}=\dfrac{1{,}4755859375+1{,}47607421875}{2}=1{,}475830078125.
  • Comparando com a raiz verdadeira aproximada e avaliando numericamente, m_{12}^5\approx7{,}000 (ligeiramente positivo). Assim f(m_{12})>0.
  • Raiz em [1{,}4755859375,1{,}475830078125].
    Novo intervalo: [a_{12},b_{12}]=[1{,}4755859375,1{,}475830078125].

Passo 16

  • m_{13}=\dfrac{1{,}4755859375+1{,}475830078125}{2}=1{,}4757080078125.
  • Avaliação numérica aproximada mostra m_{13}^5<7 (logo f(m_{13})<0).
  • Raiz em [1{,}4757080078125,1{,}475830078125].
    Novo intervalo: [a_{13},b_{13}]=[1{,}4757080078125,1{,}475830078125].
  • Comprimento do intervalo agora: b_{13}-a_{13}=0{,}0001220703125, ainda maior que 10^{-4}.

Passo 17

  • m_{14}=\dfrac{1{,}4757080078125+1{,}475830078125}{2}=1{,}47576904296875.
  • Avaliação numérica dá m_{14}^5 ligeiramente menor que 7, portanto f(m_{14})<0.
  • Como f(m_{14})<0 e f(b_{13})>0, o novo intervalo é [1{,}47576904296875,\,1{,}475830078125].
  • Agora o comprimento do intervalo é b-a=1{,}475830078125-1{,}47576904296875=0{,}00006103515625,que é menor que 10^{-4}. Portanto atingimos a precisão exigida: qualquer ponto dentro do intervalo difere da raiz verdadeira por no máximo metade do comprimento, isto é \le 3{,}0517578125\times 10^{-5}<10^{-4}.
Uma boa escolha final é tomar o ponto médio do intervalo final como aproximação da raiz:
x_{\text{aprox}}=\frac{1{,}47576904296875+1{,}475830078125}{2}=1{,}475799560546875.
Arredondando para a precisão solicitada (ordem 10^{-4}), temos 1{,}4758.

Resposta

\,1{,}4758

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