Use o método da bissecção para determinar
com precisão da ordem de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Queremos determinar
, ou seja o número tal que . - O método exigido é o método da bissecção.
- A precisão pedida é da ordem de
(ou seja, erro absoluto máximo aproximadamente ). - Informação útil imediata que obtém-se do enunciado: podemos trabalhar com a função
cujo zero procuramos.
Passo 2
Escolher um intervalo inicial
com
e
de sinais opostos (isso garante, pela continuidade, que há uma raiz no intervalo). Calcule:
-
. -
.
Portanto há pelo menos uma raiz de
em
. Vamos aplicar bissecção nesse intervalo.
Passo 3
Explicando o método da bissecção (passo-a-passo didático):
- Dado um intervalo
tal que , calcula-se o ponto médio - Avalia-se
. Se então é a raiz; se a raiz está em ; caso contrário está em . - Repetir o processo para o novo intervalo até que o comprimento do intervalo seja suficientemente pequeno.
- Erro garantido: após
iterações o comprimento do intervalo é , logo a estimativa do erro absoluto ao usar o ponto médio é no máximo - Para garantir erro ≤
em (onde ) precisamos de tal que - Logo
iterações são suficientes (pois com temos ).
Vamos então fazer as iterações (realizando 14 iterações) e manter, em cada passo, o par
, o ponto médio
e o sinal de
. Quando possível eu mostro o valor aproximado de
para entender o motivo da escolha do subintervalo.
Passo 4
Intervalo inicial:
,
.
-
. - Calcule
. Logo . - Como
e , a raiz está em .
Novo intervalo:.
Passo 5
-
. -
. Logo . - Sinal oposto entre
e ( ), então a raiz está em .
Novo intervalo:.
Passo 6
-
. -
. Logo . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 7
-
. -
. Logo . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 8
-
. -
(aprox.). Logo . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 9
-
. -
. Logo . - Como
e , raiz em .
Novo intervalo:.
Passo 10
-
. - Cálculo exato via frações dá
. Logo . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 11
-
. - Cálculo exato dá
. Logo . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 12
-
. - Estimativa por interpolação/avaliação numérica:
. Logo . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 13
-
. - Avaliação numérica aproximada:
. Logo . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 14
-
. - Avaliação aproximada dá
. Logo . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 15
-
. - Comparando com a raiz verdadeira aproximada e avaliando numericamente,
(ligeiramente positivo). Assim . - Raiz em
.
Novo intervalo:.
Passo 16
-
. - Avaliação numérica aproximada mostra
(logo ). - Raiz em
.
Novo intervalo:. - Comprimento do intervalo agora:
, ainda maior que .
Passo 17
-
. - Avaliação numérica dá
ligeiramente menor que , portanto . - Como
e , o novo intervalo é . - Agora o comprimento do intervalo é
que é menor que . Portanto atingimos a precisão exigida: qualquer ponto dentro do intervalo difere da raiz verdadeira por no máximo metade do comprimento, isto é .
Uma boa escolha final é tomar o ponto médio do intervalo final como aproximação da raiz:
Arredondando para a precisão solicitada (ordem
), temos
.