Use o método da bissecção para determinar \sqrt{3} com precisão da ordem de 10^{-4}.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de informação inicial.
  • Pede-se determinar \sqrt{3} usando o método da bissecção com precisão da ordem de 10^{-4}.
  • Vamos reduzir o problema a achar a raiz da função
f(x)=x^{2}-3,
pois a raiz positiva dessa função é exatamente \sqrt{3}.
  • Escolhemos um intervalo inicial [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Observando:
f(1)=1^{2}-3=-2<0,\qquad f(2)=2^{2}-3=1>0,
logo a raiz está em [1,2]. Esses são os dados que usaremos.

Passo 2

O método da bissecção — ideia, fórmulas e critério de parada (tudo explicadinho).
  • Ideia: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe uma raiz \xi\in(a,b). Tomamos o ponto médio
m=\frac{a+b}{2},
avaliamos f(m). Se f(m)=0 achamos a raiz exata; se f(m) tem mesmo sinal que f(a) substituímos a\leftarrow m, caso contrário b\leftarrow m. Repetimos até obter a aproximação desejada.
  • Erro garantido: depois de n iterações, se m_n é o ponto médio obtido, vale
\big|m_n-\xi\big|\le\frac{b-a}{2^{\,n+1}}.
Aqui b-a é o comprimento do intervalo inicial e \xi é a raiz real. Essa fórmula vem do fato de que a cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.
  • Critério de parada para precisão de ordem 10^{-4}: queremos \big|m_n-\xi\big|\le 10^{-4}. Com b-a=1 (pois começamos em [1,2]) precisamos de n tal que
\frac{1}{2^{\,n+1}}\le 10^{-4}.
Tomando logaritmos:
2^{\,n+1}\ge 10^{4}\quad\Rightarrow\quad n+1\ge\log_{2}(10^{4})\approx 13{,}2877,
logo n inteiro mínimo que satisfaz é n=13. Assim, bastam 13 iterações da bissecção para garantir o erro menor que 10^{-4}.

Passo 3

Aplicação prática — primeiras 5 iterações (cálculos detalhados, mostrando sinais e atualização do intervalo).
Definimos f(x)=x^{2}-3 e começamos com a_{0}=1, b_{0}=2.
Iteração 1:
m_{1}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5,
f(m_{1})=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-3=\frac{9}{4}-3=-\frac{3}{4}<0.
Então trocamos a_{1}=m_{1}=\tfrac{3}{2} e mantemos b_{1}=2. Novo intervalo [\tfrac{3}{2},2].
Iteração 2:
m_{2}=\frac{3/2+2}{2}=\frac{7}{4}=1{,}75,
f(m_{2})=\left(\frac{7}{4}\right)^{2}-3=\frac{49}{16}-3=\frac{1}{16}>0.
Sinal positivo, então a_{2}=3/2, b_{2}=m_{2}=7/4. Intervalo [\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{4}].
Iteração 3:
m_{3}=\frac{3/2+7/4}{2}=\frac{13}{8}=1{,}625,
f(m_{3})=\left(\frac{13}{8}\right)^{2}-3=\frac{169}{64}-3=-\frac{23}{64}<0.
Logo a_{3}=13/8, b_{3}=7/4. Intervalo [\tfrac{13}{8},\tfrac{7}{4}].
Iteração 4:
m_{4}=\frac{13/8+7/4}{2}=\frac{27}{16}=1{,}6875,
f(m_{4})=\left(\frac{27}{16}\right)^{2}-3=\frac{729}{256}-3=-\frac{39}{256}<0.
Então a_{4}=27/16, b_{4}=7/4.
Iteração 5:
m_{5}=\frac{27/16+7/4}{2}=\frac{55}{32}=1{,}71875,
f(m_{5})=\left(\frac{55}{32}\right)^{2}-3=\frac{3025}{1024}-3=-\frac{47}{1024}<0.
Portanto a_{5}=55/32, b_{5}=7/4.

Passo 4

Iterações 6 a 9 (continuando o mesmo processo, com frações exatas).
Iteração 6:
m_{6}=\frac{55/32+7/4}{2}=\frac{111}{64}=1{,}734375,
f(m_{6})=\left(\frac{111}{64}\right)^{2}-3=\frac{12321}{4096}-3=\frac{33}{4096}>0.
Sinal positivo, então a_{6}=55/32, b_{6}=111/64.
Iteração 7:
m_{7}=\frac{55/32+111/64}{2}=\frac{221}{128}=1{,}7265625,
f(m_{7})=\left(\frac{221}{128}\right)^{2}-3=\frac{48841}{16384}-3=-\frac{311}{16384}<0.
Logo a_{7}=221/128, b_{7}=111/64.
Iteração 8:
m_{8}=\frac{221/128+111/64}{2}=\frac{443}{256}=1{,}73046875,
f(m_{8})=\left(\frac{443}{256}\right)^{2}-3=\frac{196249}{65536}-3=-\frac{359}{65536}<0.
Assim a_{8}=443/256, b_{8}=111/64.
Iteração 9:
m_{9}=\frac{443/256+111/64}{2}=\frac{887}{512}=1{,}732421875,
f(m_{9})=\left(\frac{887}{512}\right)^{2}-3=\frac{786769}{262144}-3=\frac{337}{262144}>0.
Portanto a_{9}=443/256, b_{9}=887/512.

Passo 5

Iterações 10 a 13 (últimas necessárias para atingir a precisão exigida).
Iteração 10:
m_{10}=\frac{443/256+887/512}{2}=\frac{1773}{1024}=1{,}7314453125,
f(m_{10})=\left(\frac{1773}{1024}\right)^{2}-3=\frac{3143529}{1048576}-3=-\frac{2199}{1048576}<0.
Então a_{10}=1773/1024, b_{10}=887/512.
Iteração 11:
m_{11}=\frac{1773/1024+887/512}{2}=\frac{3547}{2048}=1{,}73193359375,
f(m_{11})=\left(\frac{3547}{2048}\right)^{2}-3=\frac{12581209}{4194304}-3=-\frac{1703}{4194304}<0.
Logo a_{11}=3547/2048, b_{11}=887/512.
Iteração 12:
m_{12}=\frac{3547/2048+887/512}{2}=\frac{7095}{4096}=1{,}732177734375,
f(m_{12})=\left(\frac{7095}{4096}\right)^{2}-3=\frac{50339025}{16777216}-3=\frac{7377}{16777216}>0.
Portanto a_{12}=3547/2048, b_{12}=7095/4096.
Iteração 13:
m_{13}=\frac{3547/2048+7095/4096}{2}=\frac{14189}{8192}=1{,}7320556640625,
f(m_{13})=\left(\frac{14189}{8192}\right)^{2}-3=\frac{201327721}{67108864}-3=\frac{1129}{67108864}>0.
O valor de f(m_{13}) é positivo e muito pequeno ( \dfrac{1129}{67108864}\approx 1{,}68\cdot10^{-5}), o que indica que estamos muito próximos da raiz verdadeira.

Passo 6

Verificação do critério de parada e conclusão.
  • Pelo cálculo do número de iterações, n=13 garante
\big|m_{13}-\xi\big|\le\frac{1}{2^{14}}=\frac{1}{16384}\approx 6{,}103515625\cdot10^{-5}<10^{-4},
então a aproximação m_{13} tem erro absoluto menor que 10^{-4}.
  • Temos também f(m_{13})=\dfrac{1129}{67108864}>0, um resíduo pequeno que confirma que m_{13} é maior que a raiz, mas dentro da tolerância.
  • Portanto a aproximação final obtida pelo método da bissecção com a precisão requerida é
m_{13}=\frac{14189}{8192}=1{,}7320556640625.

Resposta

\,1{,}7320556640625

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