Use o método da bissecção para determinar \sqrt{3} com precisão da ordem de 10^{-4}.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de informação inicial.
Pede-se determinar \sqrt{3} usando o método da bissecção com precisão da ordem de 10^{-4}.
Vamos reduzir o problema a achar a raiz da função
f(x)=x^{2}-3,
pois a raiz positiva dessa função é exatamente \sqrt{3}.
Escolhemos um intervalo inicial [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Observando:
f(1)=1^{2}-3=-2<0,\qquad f(2)=2^{2}-3=1>0,
logo a raiz está em [1,2]. Esses são os dados que usaremos.
Passo 2
O método da bissecção — ideia, fórmulas e critério de parada (tudo explicadinho).
Ideia: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe uma raiz \xi\in(a,b). Tomamos o ponto médio
m=\frac{a+b}{2},
avaliamos f(m). Se f(m)=0 achamos a raiz exata; se f(m) tem mesmo sinal que f(a) substituímos a\leftarrow m, caso contrário b\leftarrow m. Repetimos até obter a aproximação desejada.
Erro garantido: depois de n iterações, se m_n é o ponto médio obtido, vale
\big|m_n-\xi\big|\le\frac{b-a}{2^{\,n+1}}.
Aqui b-a é o comprimento do intervalo inicial e \xi é a raiz real. Essa fórmula vem do fato de que a cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.
Critério de parada para precisão de ordem 10^{-4}: queremos \big|m_n-\xi\big|\le 10^{-4}. Com b-a=1 (pois começamos em [1,2]) precisamos de n tal que
O valor de f(m_{13}) é positivo e muito pequeno (\dfrac{1129}{67108864}\approx 1{,}68\cdot10^{-5}), o que indica que estamos muito próximos da raiz verdadeira.