Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
, no intervalo
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra achar a raiz da função
no intervalo
- Bisseção
- Falsa Posição (Regula Falsi)
- Newton–Raphson
- Secante
O conteúdo aqui é de métodos de aproximação de raízes de equações não lineares. A gente vai precisar saber:
- O conceito de troca de sinal (pra bisseção e falsa posição).
- A fórmula iterativa de cada método.
- Critério de parada (tipo tolerância
).
A partir do próximo passo a gente faz a resolução de cada método, mostrando a teoria e os cálculos passo a passo.
Passo 2
Método da Bisseção
- Teoria rápida: se
e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em . A cada iteração a gente calcula o ponto médio e decide em qual subintervalo a raiz continua (onde o produto ou ). - Configuração inicial:
, , tolerância . - Iterações (mostro as primeiras):
- iteração 1:
, . Como e , a raiz está em .
→ novo intervalo. - iteração 2:
, . Então agora a raiz está em . - iteração 3:
, . Então .
…
- iteração 1:
- A cada passo a largura do intervalo cai pela metade. Quando
, paramos. - Resultado final (após ~17 iterações):
Passo 3
Método da Falsa Posição
- Teoria: parecido com bisseção, mas em vez de meio usamos reta que liga
a . O ponto de corte com o eixo é - Começamos com
, . - Iterações (algumas):
- iteração 1:
Como , nova dupla . - iteração 2: recalcula-se com
, obtém-se com .
- iteração 1:
- Para
, paramos. - Resultado final:
Passo 4
Método de Newton–Raphson
- Teoria: usa a derivada
. Iteração típica: - Precisamos de
. Aqui: - Escolho palpite inicial
. - Iterações:
-
-
já com .
-
- Resultado final:
Passo 5
Método da Secante
- Teoria: parecido com Newton, mas não exige derivada explícita. Usa dois últimos valores:
- Ponto inicial
, . - Iterações:
-
-
em mais uma iteração (critério ).
-
- Resultado final:
Resposta
Usando tolerância
, todos os métodos convergem para a raiz