Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
f(x)=raizx-cos (x), no intervalo [0,1];

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra achar a raiz da função
f(x)=raizx-cos(x)
no intervalo , usando quatro métodos numéricos:
- Bisseção
- Falsa Posição (Regula Falsi)
- Newton–Raphson
- Secante
O conteúdo aqui é de métodos de aproximação de raízes de equações não lineares. A gente vai precisar saber:
  1. O conceito de troca de sinal (pra bisseção e falsa posição).
  2. A fórmula iterativa de cada método.
  3. Critério de parada (tipo tolerância ).
A partir do próximo passo a gente faz a resolução de cada método, mostrando a teoria e os cálculos passo a passo.

Passo 2

Método da Bisseção
  1. Teoria rápida: se c = a+b2 e boxedxrm bisapprox0.64171 têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em . A cada iteração a gente calcula o ponto médio e decide em qual subintervalo a raiz continua (onde o produto ou ).
  2. Configuração inicial: , , tolerância .
  3. Iterações (mostro as primeiras):
    • iteração 1: , . Como e , a raiz está em .
      → novo intervalo .
    • iteração 2: , . Então agora a raiz está em .
    • iteração 3: , . Então .
  4. A cada passo a largura do intervalo cai pela metade. Quando , paramos.
  5. Resultado final (após ~17 iterações):

Passo 3

Método da Falsa Posição
  1. Teoria: parecido com bisseção, mas em vez de meio usamos reta que liga c = b - f(b),b-af(b)-f(a) a c1 = 1 - f(1),1-0f(1)-f(0) = 1 - (1-0.5403)1(1-0.5403)-(-1) approx 0.6295. O ponto de corte com o eixo boxedxrm falsaapprox0.64171 é
  2. Começamos com , .
  3. Iterações (algumas):
    • iteração 1: Como , nova dupla .
    • iteração 2: recalcula-se com , obtém-se com .
  4. Para , paramos.
  5. Resultado final:

Passo 4

Método de Newton–Raphson
  1. Teoria: usa a derivada xn+1 = xn - f(xn)f'(xn). Iteração típica: f(x)=raizx-cos x ;;implies;; f'(x)=12raizx+sin x
  2. Precisamos de boxedxrm Newtonapprox0.64171. Aqui:
  3. Escolho palpite inicial .
  4. Iterações:
    • já com .
  5. Resultado final:

Passo 5

Método da Secante
  1. Teoria: parecido com Newton, mas não exige derivada explícita. Usa dois últimos valores: xn+1 = xn - f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
  2. Ponto inicial boxedxrm secanteapprox0.64171, .
  3. Iterações:
    • em mais uma iteração (critério ).
  4. Resultado final:

Resposta

Usando tolerância boxedxapprox0.64171, todos os métodos convergem para a raiz

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