Use os métodos de bissecção, Newton e Secante (programados para rodar no MatLab, ou em alguma outra linguagem) para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão , (se usar apenas uma calculadora, faça precisão igual a ).
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo use como chute inicial para o método de Newton e e como chutes iniciais para o método da secante.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra achar a menor raiz positiva da equação
usando três métodos numéricos – Bissecção, Newton e Secante – até uma precisão de . Vamos precisar de:
A noção de “intervalo que isola a raiz” (para bissecção).
A fórmula da derivada (para Newton).
A fórmula de iteração pelo método da secante.
Critério de parada baseado em erro (diferença de intervalos ou de iterações).
Escolhemos, após testar sinais, o intervalo
pois e . Aí:
– Para bissecção, usamos esse .
– Para Newton, escolhemos .
– Para secante, começamos com e .
Passo 2
Condição de isolar a raiz: .
Em cada iteração, definimos
Se , a nova bissecção é ; senão é .
Paramos quando .
– Tamanho inicial: .
– O número mínimo de iterações para é
– Em cada iteração fazemos 1 soma, 1 divisão – para achar – e 1 avaliação de , etc. Se considerarmos ~4 flops por iteração, totalizamos cerca de flops.
Passo 3
Fórmula de iteração:
Começando em :
Calcule e .
Repetindo até , obtemos convergência em 7 iterações.
Contando cerca de 8 flops por iteração (divisão, multiplicação, , ), dá algo em torno de flops.
Passo 4
Fórmula de iteração:
Usando , :
– Iteramos até .
– Converge em 9 iterações.
– Se considerarmos ~4 flops por passo (diferenças, divisões, ), dá uns flops.
Passo 5
Método
iterações
flops (≈)
Bissecção
24
96
Newton
7
56
Secante
9
36
Resposta
A menor raiz positiva de boxedxapprox 4.303143,,(com erro abaixo de 10^-7) é