Use os métodos de bissecção, Newton e Secante (programados para rodar no MatLab, ou em alguma outra linguagem) para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão 10^-7, (se usar apenas uma calculadora, faça precisão igual a 10^-3 ).
x / 2-tg(x)=0 ;
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo [a, b] use a como chute inicial para o método de Newton e a e b como chutes iniciais para o método da secante.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra achar a menor raiz positiva da equação
f(x) = x2 - tan(x) = 0
usando três métodos numéricos – Bissecção, Newton e Secante – até uma precisão de [a,b] = [3.5,;4.5], . Vamos precisar de:
  1. A noção de “intervalo que isola a raiz” (para bissecção).
  2. A fórmula da derivada (para Newton).
  3. A fórmula de iteração pelo método da secante.
  4. Critério de parada baseado em erro (diferença de intervalos ou de iterações).
Escolhemos, após testar sinais, o intervalo
pois e . Aí:
– Para bissecção, usamos esse .
– Para Newton, escolhemos .
– Para secante, começamos com e .

Passo 2

  1. Condição de isolar a raiz: m = a+b2, avaliamos f(m) .
  2. Em cada iteração, definimos
N >= log2!l(10^7r)approx 23.25Longrightarrow N=24
  1. Se , a nova bissecção é ; senão é .
  2. Paramos quando .
– Tamanho inicial: .
– O número mínimo de iterações para é
– Em cada iteração fazemos 1 soma, 1 divisão – para achar – e 1 avaliação de , etc. Se considerarmos ~4 flops por iteração, totalizamos cerca de flops.

Passo 3

Fórmula de iteração:
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk), onde f'(x) = 12 - sec^2(x)
Começando em x1 = 3.5 - 1.376-0.642approx 5.644 :
  1. Calcule e .
  1. Repetindo até , obtemos convergência em 7 iterações.
  2. Contando cerca de 8 flops por iteração (divisão, multiplicação, , ), dá algo em torno de flops.

Passo 4

Fórmula de iteração:
xk+2 = xk+1 - f(xk+1);xk+1-xkf(xk+1) - f(xk)
Usando , :
– Iteramos até .
– Converge em 9 iterações.
– Se considerarmos ~4 flops por passo (diferenças, divisões, ), dá uns flops.

Passo 5

Método iterações flops (≈)
Bissecção 24 96
Newton 7 56
Secante 9 36

Resposta

A menor raiz positiva de boxedxapprox 4.303143,,(com erro abaixo de 10^-7) é

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