Use os métodos de bissecção, Newton e Secante (programados para rodar no MatLab, ou em alguma outra linguagem) para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão
, (se usar apenas uma calculadora, faça precisão igual a
).
;
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo
use
como chute inicial para o método de Newton e
e
como chutes iniciais para o método da secante.
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra achar a menor raiz positiva da função
usando três jeitos: bissecção, Newton e secante.
O assunto é “métodos numéricos para achar raízes”.
Pra resolver vamos precisar de:
usando três jeitos: bissecção, Newton e secante.
O assunto é “métodos numéricos para achar raízes”.
Pra resolver vamos precisar de:
- saber isolar a raiz num intervalo onde
muda de sinal; - usar a fórmula da bissecção até
; - usar a iteração de Newton com
; - usar a iteração da secante com dois chutes iniciais.
Passo 2
Método da Bissecção
- Primeiro achamos um intervalo
com . -
-
Entãofunciona.
-
- A cada iteração calculamos
e substituímos o endpoint cujo sinal coincide com . - A condição de parada é
. - O número de iterações necessárias é
- No fim dessa bissecção a raiz aproximada é
Passo 3
Método de Newton
- Fórmula de Newton:
onde - Começamos com o chute
. - Iteramos até
: - k=0:
, ,
- k=1:
, calcula , , obtém - k=2: repete para achar
- k=3: acha
- k=4: acha
- k=0:
- Converge rápido (quadrático), em 5 iterações já dá a mesma raiz
.
Passo 4
Método da Secante
- Fórmula da secante:
- Chutes iniciais:
, . - Iteramos até
: - k=1: com
, gera - k=2: gera
- k=3: gera
- k=1: com
- Em 4 iterações já batemos
(mesmo valor).
Resposta
A menor raiz positiva é aproximadamente
e a comparação dos métodos dá:
Método | Iterações | Flops (aprox.) |
---|---|---|
Bissecção | 24 | 48 |
Newton | 5 | 30 |
Secante | 4 | 32 |