Use os métodos de bissecção, Newton e Secante (programados para rodar no MatLab, ou em alguma outra linguagem) para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão 10^-7, (se usar apenas uma calculadora, faça precisão igual a 10^-3 ).
2 cos (x)-exp (x) / 2=0;
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo [a, b] use a como chute inicial para o método de Newton e a e b como chutes iniciais para o método da secante.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra achar a menor raiz positiva da função

usando três jeitos: bissecção, Newton e secante.
O assunto é “métodos numéricos para achar raízes”.
Pra resolver vamos precisar de:
  1. saber isolar a raiz num intervalo onde muda de sinal;
  2. usar a fórmula da bissecção até ;
  3. usar a iteração de Newton com ;
  4. usar a iteração da secante com dois chutes iniciais.

Passo 2

Método da Bissecção
  1. Primeiro achamos um intervalo m=a+b2, f(m), com N>=llceillog21-010^-7rrceil =lceil23,25rceil=24.
    • xapprox0,904949

    • Então funciona.
  2. A cada iteração calculamos e substituímos o endpoint cujo sinal coincide com .
  3. A condição de parada é
    .
  4. O número de iterações necessárias é
  5. No fim dessa bissecção a raiz aproximada é

Passo 3

Método de Newton
  1. Fórmula de Newton: xk+1=xk-f(xk)f'(xk),onde f(x)=2cos x-e^x2, f'(x)=-2sin x-e^x2
  2. Começamos com o chute .
  3. Iteramos até :
    • k=0: , ,
    • k=1: , calcula , , obtém
    • k=2: repete para achar
    • k=3: acha
    • k=4: acha
  4. Converge rápido (quadrático), em 5 iterações já dá a mesma raiz
    .

Passo 4

Método da Secante
  1. Fórmula da secante: xk+1 =xk-;f(xk);xk-xk-1f(xk)-f(xk-1)
  2. Chutes iniciais: , .
  3. Iteramos até :
    • k=1: com , gera
    • k=2: gera
    • k=3: gera
  4. Em 4 iterações já batemos (mesmo valor).

Resposta

A menor raiz positiva é aproximadamente
boxed0,904949
e a comparação dos métodos dá:
Método Iterações Flops (aprox.)
Bissecção 24 48
Newton 5 30
Secante 4 32

Exercícios relacionados