Use os métodos de Gauss-Seidel e de Jacobi para resolver o seguinte sistema:
10 x+5 y+2 z+1 w=18
5 x+10 y-3 z+2 w=14
2 x-3 y+12 z-5 w=-9
1 x+2 y-5 z+12 w=10
Inicie com x0=y0=z0=w0=2. Para cada método responda: O sistema convergirá? Por que? Realize 6 iterações manualmente.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para usar os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel num sistema 4×4:
10x+5y+2z+w=18, 5x+10y-3z+2w=14, 2x-3y+12z-5w=-9, x+2y-5z+12w=10,
começando em (x0,y0,z0,w0)=(2,2,2,2).
Conteúdo: métodos iterativos para sistemas lineares, em particular critério de convergência (dominância diagonal) e fórmulas de iteração de Jacobi e Gauss–Seidel. Vamos precisar:
  1. Verificar se a matriz é (estritamente) diagonalmente dominante.
  2. Escrever as fórmulas de iteração de cada método.
  3. Calcular manualmente 6 iterações de cada um.

Passo 2

Primeiro, o critério de convergência mais simples: a matriz
A= 10 & 5 & 2 & 1 5 &10 &-3 &2 2 &-3 &12 &-5 1 &2 &-5 &12
é diagonalmente dominante se, em cada linha,
|aii|>sumjne i|aij|
Verificando:
- Linha 1: 10>5+2+1=8
- Linha 2: 10=5+3+2=10 ⚠ (é limítrofe)
- Linha 3: 12>2+3+5=10
- Linha 4: 12>1+2+5=8
Temos dominância “fraca” na linha 2, mas em geral isso sugere que ambos Jacobi e Gauss–Seidel vão tender a convergir.

Passo 3

Método de Jacobi: cada componente é atualizada usando valores da iteração anterior. A fórmula geral para a linha i é
xi^(k+1)=1aiil(bi-sumjne iaij,xj^(k)r)
No nosso caso, denotando x^(k)=(x^(k),y^(k),z^(k),w^(k)), temos:
x^(k+1)&=110l(18-5y^(k)-2z^(k)-w^(k)r), y^(k+1)&=110l(14-5x^(k)+3z^(k)-2w^(k)r), z^(k+1)&=112l(-9-2x^(k)+3y^(k)+5w^(k)r), w^(k+1)&=112l(10-x^(k)-2y^(k)+5z^(k)r)

Passo 4

Calculando 6 iterações de Jacobi (aprox. 4 casas decimais):
k=0: (2,2,2,2)
k=1:
x^1&=(18-5cdot2-2cdot2-1cdot2)/10=0,2000, y^1&=(14-5cdot2+3cdot2-2cdot2)/10=0,6000, z^1&=(-9-2cdot2+3cdot2+5cdot2)/12=0,2500, w^1&=(10-2-2cdot2+5cdot2)/12=1,1667
k=2: (1,5333,;1,7417,;-0,1472,;0,8208)
k=3: (0,8765,;0,4250,;-0,2281,;0,3540)
k=4: (1,5977,;0,8225,;-0,6423,;0,5944)
k=5: (1,4578,;0,2896,;-0,5630,;0,2955)
k=6: (1,7383,;0,4431,;-0,7974,;0,4290)
Note como os valores oscilam mas parecem estabilizar.

Passo 5

Método de Gauss–Seidel: cada componente usa imediatamente os valores mais recentes que já foram computados nesta iteração. A fórmula é
xi^(k+1)=1aiil(bi-sumjiaij,xj^(k)r)
No nosso sistema:
x^(k+1)&=110(18-5y^(k)-2z^(k)-w^(k)), y^(k+1)&=110(14-5x^(k+1)+3z^(k)-2w^(k)), z^(k+1)&=112(-9-2x^(k+1)+3y^(k+1)+5w^(k)), w^(k+1)&=112(10-x^(k+1)-2y^(k+1)+5z^(k+1))

Passo 6

Calculando 6 iterações de Gauss–Seidel (~4 casas decimais):
k=0: (2,2,2,2)
k=1: (0,2000,;1,5000,;0,4250,;0,3896)
k=2: (0,9260,;0,9866,;-0,4954,;0,3853)
k=3: (1,3673,;0,4907,;-0,6947,;0,3482)
k=4: (1,6588,;0,2926,;-0,8082,;0,3096)
k=5: (1,7844,;0,2034,;-0,8676,;0,2892)
k=6: (1,8429,;0,1604,;-0,8965,;0,2795)
De novo, vemos convergência mais suave que Jacobi.

Resposta

  1. Ambos os métodos convergem porque a matriz é (quase) diagonalmente dominante.
  2. Após 6 iterações:
    • Jacobi: (x,y,z,w)approx(1,7383,;0,4431,;-0,7974,;0,4290).
    • Gauss–Seidel: (x,y,z,w)approx(1,8429,;0,1604,;-0,8965,;0,2795).

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