Quando é mais vantagem resolver um sistema linear usando um método iterativo (por exemplo, Gauss-Seidel) e quando é mais vantagem usar um método direto (por exemplo, escalonamento).

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta: “Quando é mais vantagem usar um método iterativo (tipo Gauss–Seidel) em vez de um método direto (tipo escalonamento por eliminação de Gauss) para resolver um sistema linear ?”
Conteúdo: Álgebra linear numérica – métodos diretos e iterativos de resolução de sistemas.
O que vamos precisar: entender custo computacional (complexidade), requisitos de memória, propriedades da matriz (esparsidade, simetria, dominância diagonal) e conceito de convergência de iterações.

Passo 2

Primeiro, método direto (eliminação de Gauss):
  1. A ideia é aplicar operações elementares na matriz aumentada até deixá-la triangular e depois fazer retro-substituição.
  2. Complexidade típica: operações de ponto flutuante para uma matriz .
  3. Vantagens: dá resposta exata (até erros de arredondamento), converge em número finito de passos; não precisa checar condições de convergência.
  4. Desvantagens: se a matriz for muito grande e esparsa (muitos zeros), você acaba “enchendo” ela de não-zeros (fill-in) e gastando muita memória/tempo.

Passo 3

Agora, método iterativo (ex.: Gauss–Seidel):
  1. A gente reescreve xi^(k+1) = 1aiil(bi - sumji aij,xj^(k)r) de um jeito que, a partir de um chute inicial , calculamos novas aproximações até “parar”.
    Por exemplo, a fórmula de Gauss–Seidel para o -ésimo componente é
  2. Complexidade por iteração: se a matriz tiver elementos não-zero, dá algo em .
  3. Convergência: só funciona direitinho se a matriz for, por exemplo, estritamente diagonalmente dominante ou simétrica definida positiva.
  4. Vantagens: pra sistemas enormes e esparsos, cada iteração é barata e você só precisa armazenar o sparsity pattern; dá pra parar quando a solução estiver “boa o suficiente”.
  5. Desvantagens: pode demorar muitas iterações pra chegar numa precisão desejada, ou até não convergir se a matriz não tiver propriedades certas.

Passo 4

Comparando os dois cenários:
  • Se sua matriz é pequena ou densa (ou seja, quase sem zeros), e você quer uma solução exata (até limite numérico), o método direto costuma ser mais rápido e simples de usar.
  • Se sua matriz é muito grande, esparsa e você só precisa de uma aproximação razoável, um método iterativo ganha em eficiência de memória e tempo por iteração, especialmente em aplicações como análise de estruturas, CFD ou simulações.

Resposta

Usa método direto (eliminação de Gauss) quando o sistema for de dimensão moderada ou denso, e você precise da solução exata rapidamente. Usa método iterativo (Gauss–Seidel, Gradiente Conjugado etc.) quando o sistema for muito grande e esparso, e uma solução aproximada com bom compromisso precisão × custo seja suficiente, desde que a matriz satisfaça condições de convergência.

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