analise a convergência verificando se \left|g^{\prime}(x)\right|<1 no intervalo de interesse. Depois, realize 5 iterações com x_{0}=0.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) analisar a convergência da iteração de ponto fixo para a função obtida a partir da equação \;x=\ln(x+2)\; verificando se \left|g'(x)\right|<1 no intervalo de interesse; (2) realizar 5 iterações com x_{0}=0.\n
Informações dadas e necessárias para a resolução:\n
A função de iteração é \;g(x)=\ln(x+2).\n
O domínio natural de g é \;x>-2 (porque \ln(x+2) exige x+2>0).\n
O objetivo é verificar a condição \left|g'(x)\right|<1 em um intervalo que contenha o ponto fixo e, em seguida, aplicar a iteração \;x_{n+1}=g(x_n) começando em \;x_0=0 por 5 passos.\n
(Na próxima etapa eu vou calcular a derivada, analisar onde \left|g'\right|<1, localizar o ponto fixo e escolher um intervalo adequado.)
Passo 2
Cálculo da derivada e análise da condição \left|g'(x)\right|<1.\n
A derivada de \;g(x)=\ln(x+2) é\n
g'(x)=\frac{1}{x+2}.
Queremos saber para que x vale \left|\frac{1}{x+2}\right|<1. Isso equivale a\n
Agora usar o domínio \;x>-2. No intervalo \;x>-2 a condição |x+2|>1 reduz-se a\n
x+2>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-1.
Portanto, em todo ponto com \;x>-1 temos \left|g'(x)\right|<1. Isso já nos dá uma boa pista: se conseguirmos um intervalo contendo o ponto fixo inteiro dentro de ( -1,\infty ), a derivada está estritamente menor que 1 em módulo nesse intervalo.
Passo 3
Localizar o ponto fixo (resposta da equação) aproximadamente e escolher um intervalo de interesse onde \left|g'\right|<1.\n
Defino \;f(x)=\ln(x+2)-x. As raízes de f são os pontos fixos. Vamos avaliar f em alguns pontos (valores aproximados conhecidos):\n
Logo a raiz está em (1{,}1,1{,}2). Esse intervalo está totalmente à direita de -1, logo em ( -1,\infty ) e, portanto, \left|g'(x)\right|<1 nele.\n
Escolho o intervalo de interesse \;I=[1{,}1,\,1{,}2]. Vou verificar duas coisas úteis para o Teorema do Ponto Fixo de Banach:\n
Como g(I)\subset I e existe L=\max_{I}|g'|<1, por Banach há um único ponto fixo em I e a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para esse ponto fixo sempre que a sequência entrar em I. Observação: x_0=0 não está em I, mas as próximas iteradas podem entrar em I e aí a convergência fica garantida.
Passo 4
Explicação didática de por que \left|g'(x)\right|<1 garante convergência (intuição e enunciado do resultado usado).\n
O resultado que usamos é o Teorema do Ponto Fixo de Banach (contracção): se g é contínua em um intervalo I, g(I)\subset I e existe L\in[0,1) tal que |g'(x)|\le L em I, então g é uma contração (ou seja, reduz distâncias) e:\n
há exatamente um ponto fixo x^*\in I;\n
para qualquer x_0\in I a sequência x_{n+1}=g(x_n) converge geometricamente para x^* com fator de contração L:\n
|x_{n+1}-x^*|\le L\,|x_n-x^*|.
Intuição simples: se a derivada em módulo é menor que 1, pequenos erros diminuem a cada aplicação de g; a função “puxa” os pontos em direção ao fixo. No nosso caso escolhemos I=[1{,}1,1{,}2] e verificamos L\le 1/3{,}1\approx0{,}32258, então, uma vez que a sequência entre nesse intervalo, a convergência fica garantida e rápida.
Passo 5
Cálculo das 5 iterações com x_{0}=0. Vou mostrar passo a passo e explicar como aproximar os logaritmos sem calculadora pesada (linearização local / aproximação por valores conhecidos).\n
Definição da iteração:\n
x_{2}=\ln(x_{1}+2)=\ln(2{,}693147). Para aproximar: \ln 2{,}7\approx0{,}9932518; como 2{,}693147 é um pouco menor que 2{,}7, subtraímos aproximadamente (0{,}006853)\times(1/2{,}7)\approx0{,}00254. Assim\nx_{2}\approx0{,}9932518-0{,}00254\approx0{,}990716.\n
x_{3}=\ln(x_{2}+2)=\ln(2{,}990716). Como isso é perto de 3, usamos \ln 3\approx1{,}0986123 e ajustamos: diferença -0{,}009284 e multiplicamos por 1/3 para obter correção \approx -0{,}003095. Então\nx_{3}\approx1{,}0986123-0{,}003095\approx1{,}095517.\n
x_{4}=\ln(x_{3}+2)=\ln(3{,}095517). Compare com \ln 3{,}1\approx1{,}1314021. A diferença -0{,}004483 multiplicada por 1/3{,}1\approx0{,}32258 dá correção \approx -0{,}001444. Assim\nx_{4}\approx1{,}1314021-0{,}001444\approx1{,}129958.\n
x_{5}=\ln(x_{4}+2)=\ln(3{,}129958). Tomando \ln 3{,}1 como referência e usando derivada 1/3{,}1 para ajustar \Delta\approx0{,}029958, a correção é \approx0{,}009652. Assim\nx_{5}\approx1{,}1314021+0{,}009652\approx1{,}141054.\n
Resumo numérico das 5 primeiras iteradas (arredondadas a 6 casas decimais):\n
Comentário: a sequência aproxima-se do ponto fixo (que fica em \approx1{,}147); observe que a iteração entrou no intervalo I=[1{,}1,1{,}2] já em x_{4}, e a partir daí a convergência fica garantida pelo argumento de contração.
Resposta
Converge: sim — em [1{,}1,1{,}2] temos \max|g'(x)|\le\frac{1}{3{,}1}\approx0{,}32258<1, g(I)\subset I; por Banach existe um único ponto fixo em I e a iteração converge para ele (a sequência entra em I nas primeiras iterações).\n
Iterações (com x_{0}=0):\n x_{1}\approx0{,}693147\n x_{2}\approx0{,}990716\n x_{3}\approx1{,}095517\n x_{4}\approx1{,}129958\n x_{5}\approx1{,}141054