1. Para o problema
x=\ln (x+2)
analise a convergência verificando se \left|g^{\prime}(x)\right|<1 no intervalo de interesse. Depois, realize 5 iterações com x_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) analisar a convergência da iteração de ponto fixo para a função obtida a partir da equação \;x=\ln(x+2)\; verificando se \left|g'(x)\right|<1 no intervalo de interesse; (2) realizar 5 iterações com x_{0}=0.\n
Informações dadas e necessárias para a resolução:\n
  • A função de iteração é \;g(x)=\ln(x+2).\n
  • O domínio natural de g é \;x>-2 (porque \ln(x+2) exige x+2>0).\n
  • O objetivo é verificar a condição \left|g'(x)\right|<1 em um intervalo que contenha o ponto fixo e, em seguida, aplicar a iteração \;x_{n+1}=g(x_n) começando em \;x_0=0 por 5 passos.\n
    (Na próxima etapa eu vou calcular a derivada, analisar onde \left|g'\right|<1, localizar o ponto fixo e escolher um intervalo adequado.)

Passo 2

Cálculo da derivada e análise da condição \left|g'(x)\right|<1.\n
A derivada de \;g(x)=\ln(x+2) é\n
g'(x)=\frac{1}{x+2}.
Queremos saber para que x vale \left|\frac{1}{x+2}\right|<1. Isso equivale a\n
\left|\frac{1}{x+2}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+2|>1.
Agora usar o domínio \;x>-2. No intervalo \;x>-2 a condição |x+2|>1 reduz-se a\n
x+2>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-1.
Portanto, em todo ponto com \;x>-1 temos \left|g'(x)\right|<1. Isso já nos dá uma boa pista: se conseguirmos um intervalo contendo o ponto fixo inteiro dentro de ( -1,\infty ), a derivada está estritamente menor que 1 em módulo nesse intervalo.

Passo 3

Localizar o ponto fixo (resposta da equação) aproximadamente e escolher um intervalo de interesse onde \left|g'\right|<1.\n
Defino \;f(x)=\ln(x+2)-x. As raízes de f são os pontos fixos. Vamos avaliar f em alguns pontos (valores aproximados conhecidos):\n
f(0)=\ln 2 - 0 \approx 0{,}693147>0,
f(1)=\ln 3 - 1 \approx 1{,}098612-1=0{,}098612>0,
f(1{,}5)=\ln 3{,}5 - 1{,}5 \approx 1{,}252763 - 1{,}5 = -0{,}247237<0.
Como f(1)>0 e f(1{,}5)<0, existe uma raiz em (1,1{,}5). Refino rapidamente: avaliando em 1{,}1 e 1{,}2\n
f(1{,}1)=\ln 3{,}1 - 1{,}1 \approx 1{,}131402 - 1{,}1 = 0{,}031402>0,
f(1{,}2)=\ln 3{,}2 - 1{,}2 \approx 1{,}163151 - 1{,}2 = -0{,}036849<0.
Logo a raiz está em (1{,}1,1{,}2). Esse intervalo está totalmente à direita de -1, logo em ( -1,\infty ) e, portanto, \left|g'(x)\right|<1 nele.\n
Escolho o intervalo de interesse \;I=[1{,}1,\,1{,}2]. Vou verificar duas coisas úteis para o Teorema do Ponto Fixo de Banach:\n
  1. a derivada é limitada em I por\n
\max_{x\in I}\left|g'(x)\right|=\frac{1}{1{,}1+2}=\frac{1}{3{,}1}\approx0{,}32258<1;
  1. g mostra-se mapa de I em si: calcular os extremos\n
g(1{,}1)=\ln 3{,}1\approx1{,}131402\in[1{,}1,1{,}2],
g(1{,}2)=\ln 3{,}2\approx1{,}163151\in[1{,}1,1{,}2].
Como g(I)\subset I e existe L=\max_{I}|g'|<1, por Banach há um único ponto fixo em I e a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para esse ponto fixo sempre que a sequência entrar em I. Observação: x_0=0 não está em I, mas as próximas iteradas podem entrar em I e aí a convergência fica garantida.

Passo 4

Explicação didática de por que \left|g'(x)\right|<1 garante convergência (intuição e enunciado do resultado usado).\n
O resultado que usamos é o Teorema do Ponto Fixo de Banach (contracção): se g é contínua em um intervalo I, g(I)\subset I e existe L\in[0,1) tal que |g'(x)|\le L em I, então g é uma contração (ou seja, reduz distâncias) e:\n
  • há exatamente um ponto fixo x^*\in I;\n
  • para qualquer x_0\in I a sequência x_{n+1}=g(x_n) converge geometricamente para x^* com fator de contração L:\n
|x_{n+1}-x^*|\le L\,|x_n-x^*|.
Intuição simples: se a derivada em módulo é menor que 1, pequenos erros diminuem a cada aplicação de g; a função “puxa” os pontos em direção ao fixo. No nosso caso escolhemos I=[1{,}1,1{,}2] e verificamos L\le 1/3{,}1\approx0{,}32258, então, uma vez que a sequência entre nesse intervalo, a convergência fica garantida e rápida.

Passo 5

Cálculo das 5 iterações com x_{0}=0. Vou mostrar passo a passo e explicar como aproximar os logaritmos sem calculadora pesada (linearização local / aproximação por valores conhecidos).\n
Definição da iteração:\n
x_{n+1}=g(x_n)=\ln(x_n+2).
Iterações:\n
  • x_{0}=0.\n
  • x_{1}=\ln(0+2)=\ln 2 \approx 0{,}693147. (Valor conhecido: \ln 2\approx0{,}69314718056.)\n
  • x_{2}=\ln(x_{1}+2)=\ln(2{,}693147). Para aproximar: \ln 2{,}7\approx0{,}9932518; como 2{,}693147 é um pouco menor que 2{,}7, subtraímos aproximadamente (0{,}006853)\times(1/2{,}7)\approx0{,}00254. Assim\n x_{2}\approx0{,}9932518-0{,}00254\approx0{,}990716.\n
  • x_{3}=\ln(x_{2}+2)=\ln(2{,}990716). Como isso é perto de 3, usamos \ln 3\approx1{,}0986123 e ajustamos: diferença -0{,}009284 e multiplicamos por 1/3 para obter correção \approx -0{,}003095. Então\n x_{3}\approx1{,}0986123-0{,}003095\approx1{,}095517.\n
  • x_{4}=\ln(x_{3}+2)=\ln(3{,}095517). Compare com \ln 3{,}1\approx1{,}1314021. A diferença -0{,}004483 multiplicada por 1/3{,}1\approx0{,}32258 dá correção \approx -0{,}001444. Assim\n x_{4}\approx1{,}1314021-0{,}001444\approx1{,}129958.\n
  • x_{5}=\ln(x_{4}+2)=\ln(3{,}129958). Tomando \ln 3{,}1 como referência e usando derivada 1/3{,}1 para ajustar \Delta\approx0{,}029958, a correção é \approx0{,}009652. Assim\n x_{5}\approx1{,}1314021+0{,}009652\approx1{,}141054.\n
Resumo numérico das 5 primeiras iteradas (arredondadas a 6 casas decimais):\n
x_{1}\approx0{,}693147,\quad x_{2}\approx0{,}990716,\quad x_{3}\approx1{,}095517,\quad x_{4}\approx1{,}129958,\quad x_{5}\approx1{,}141054.\n
Comentário: a sequência aproxima-se do ponto fixo (que fica em \approx1{,}147); observe que a iteração entrou no intervalo I=[1{,}1,1{,}2] já em x_{4}, e a partir daí a convergência fica garantida pelo argumento de contração.

Resposta

Converge: sim — em [1{,}1,1{,}2] temos \max|g'(x)|\le\frac{1}{3{,}1}\approx0{,}32258<1, g(I)\subset I; por Banach existe um único ponto fixo em I e a iteração converge para ele (a sequência entra em I nas primeiras iterações).\n
Iterações (com x_{0}=0):\n
x_{1}\approx0{,}693147\n
x_{2}\approx0{,}990716\n
x_{3}\approx1{,}095517\n
x_{4}\approx1{,}129958\n
x_{5}\approx1{,}141054

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