Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \operatorname{sen} \mathrm{x} desenvol- vendo em torno de \mathrm{x}^{*}=\mathbb{T} / 2. Encontre um limitante superior para o erro de truncamento.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 para
f(x)=e^{2x}\sin x
desenvolvido em torno de
a=\frac{\pi}{2}\,.
O conteúdo é expansão de Taylor:
T_2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2
e o erro de truncamento em forma de Lagrange
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}(x-a)^3\quad\text{para algum }\xi\text{ entre }a\text{ e }x.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de ordem 1, 2 e 3 de f.
f(x)=e^{2x}\sin x.
Derivando:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)\sin x +e^{2x}\frac{d}{dx}(\sin x) =e^{2x}(2\sin x+\cos x).
Derivando de novo:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}(2\sin x+\cos x)\bigr) =e^{2x}\bigl(2(2\sin x+\cos x)+(2\cos x-\sin x)\bigr) =e^{2x}(3\sin x+4\cos x).
E a terceira:
f^{(3)}(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}(3\sin x+4\cos x)\bigr) =e^{2x}\bigl(2(3\sin x+4\cos x)+(3\cos x-4\sin x)\bigr) =e^{2x}(2\sin x+11\cos x).

Passo 3

Avaliaremos em a=\pi/2. Como \sin(\pi/2)=1 e \cos(\pi/2)=0:
f(a)=e^{\pi},\quad f'(a)=e^{\pi}(2\cdot1+0)=2e^{\pi},\quad f''(a)=e^{\pi}(3\cdot1+4\cdot0)=3e^{\pi}.

Passo 4

O polinômio de Taylor de grau 2 é
T_2(x) =e^{\pi} +2e^{\pi}(x-\tfrac{\pi}{2}) +\frac{3e^{\pi}}{2}(x-\tfrac{\pi}{2})^2.

Passo 5

O resto de Lagrange é
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}(x-\tfrac{\pi}{2})^3 \quad\text{para algum }\xi\text{ entre }x\text{ e }\tfrac{\pi}{2}.
Como |\sin\xi|\le1 e |\cos\xi|\le1, temos
|f^{(3)}(\xi)| =\bigl|e^{2\xi}(2\sin\xi+11\cos\xi)\bigr| \le e^{2\xi}\,(|2|+|11|)=13e^{2\xi}.
Se restringirmos x a um intervalo onde \xi\le b, então
|f^{(3)}(\xi)|\le 13e^{2b} \quad\Longrightarrow\quad |R_2(x)|\le \frac{13e^{2b}}{6}\,\bigl|x-\tfrac{\pi}{2}\bigr|^3.
Em particular, se quisermos em torno de a=\pi/2 num raio r, então basta tomar b=\tfrac{\pi}{2}+r e
|R_2(x)|\le \frac{13\,e^{\pi+2r}}{6}\,|x-\tfrac{\pi}{2}|^3.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 em torno de x^*=\tfrac{\pi}{2} é
T_2(x)=e^{\pi} +2e^{\pi}\Bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) +\frac{3e^{\pi}}{2}\Bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\Bigr)^2.
Um limitante superior para o erro, em um intervalo onde \xi\le b, é
|R_2(x)|\le \frac{13\,e^{2b}}{6}\,\bigl|x-\tfrac{\pi}{2}\bigr|^3.
Em particular, num raio r em torno de \pi/2 b=\pi/2+r,
|R_2(x)|\le \frac{13\,e^{\pi+2r}}{6}\,\bigl|x-\tfrac{\pi}{2}\bigr|^3.

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