Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \operatorname{sen} \mathrm{x} desenvol- vendo em torno de \mathrm{x}^{*}=\mathbb{T} / 2. Encontre um limitante superior para o erro de truncamento.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 para
f(x)=e^{2x}\sin x
desenvolvido em torno de
a=\frac{\pi}{2}\,.
O conteúdo é expansão de Taylor:
T_2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2
e o erro de truncamento em forma de Lagrange
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}(x-a)^3\quad\text{para algum }\xi\text{ entre }a\text{ e }x.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de ordem 1, 2 e 3 de f.
f(x)=e^{2x}\sin x.
Derivando:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)\sin x +e^{2x}\frac{d}{dx}(\sin x) =e^{2x}(2\sin x+\cos x).