Considere Fn a sequência de Fibonacci. Mostre que:
sumi=1^n F2 i=F2 n+1-1;

Passo 1

Beleza, vamos provar a identidade da sequência de Fibonacci
Conteúdo: sequência de Fibonacci e prova por indução
O que a gente vai usar:
  1. Definição da sequência:
F1 = 1,;F2 = 1,;Fk = Fk-1 + Fk-2(k>=3)
  1. Princípio da indução matemática

Passo 2

Primeiro, confere o caso base sumi=1^1F2i = F2 = 1 :
Lado esquerdo:
F2cdot1+1-1 = F3 - 1 = 2 - 1 = 1
Lado direito:
Como deu , o caso base está ok.

Passo 3

Agora, suponha que a fórmula vale para algum sumi=1^n F2i = F2n+1 - 1 , ou seja:
sumi=1^n+1 F2i = l(sumi=1^n F2ir) + F2(n+1)
A gente quer mostrar que vale para F2(n+1) = F2n+2 = F2n+1 + F2n . Então calcula:
sumi=1^n+1 F2i = l(F2n+1 - 1r) + l(F2n+1 + F2nr) = 2F2n+1 + F2n - 1
Pela hipótese de indução o somatório até F2(n+1)+1 - 1 = F2n+3 - 1 é F2n+3 = F2n+2 + F2n+1 = l(F2n+1 + F2nr) + F2n+1 = 2F2n+1 + F2n . E pela definição de Fibonacci:
F2n+3 - 1 = 2F2n+1 + F2n - 1,
Substituindo:
Por outro lado, o que queremos é
Mas usando a recursão duas vezes:
Logo
que bate exatamente com o que encontramos para . Assim a indução fecha.

Resposta

boxedsumi=1^n F2 i = F2 n+1 - 1

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