Utilize a definição de derivadas parciais para determinar partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) da função f(x, y)=x^2-x y+2 y^2

Passo 1

Beleza, aqui o exercício pede pra gente usar a definição de derivada parcial pra achar
f(x,y) ;=; x^2 ;-; x,y ;+; 2y^2 e partial fpartial x(x,y) =limhto 0f(x+h,y)-f(x,y)h, partial fpartial y(x,y) =limkto 0f(x,y+k)-f(x,y)k
da função
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável — mais especificamente derivadas parciais. Pra resolver, a gente vai precisar da definição limite da derivada parcial:

Passo 2

Calcular f(x+h,y) = (x+h)^2 - (x+h)y +2y^2 usando a definição:
  1. Escreve (x+h)^2 - (x+h)y +2y^2 ;-;l(x^2 - x y +2y^2r) :
(x^2 +2xh +h^2 - xy - hy +2y^2) - x^2 + xy -2y^2 = 2xh + h^2 - hy
  1. Forma a diferença f(x+h,y)-f(x,y)h = 2xh + h^2 - h yh = 2x + h - y :
partial fpartial x(x,y) = limhto 0(2x + h - y) = 2x - y
  1. Expande e simplifica:
  1. Faz o quociente pela definição:
  1. Toma o limite :

Passo 3

Calcular f(x,y+k) = x^2 - x(y+k) + 2(y+k)^2 com a mesma ideia:
  1. Escreve x^2 - x(y+k) +2(y+k)^2 ;-;(x^2 - x y +2y^2) :
x^2 - xy - xk +2(y^2 +2yk +k^2) - x^2 + xy -2y^2 = -xk +4y k +2k^2
  1. Forma f(x,y+k)-f(x,y)k = -xk +4yk +2k^2k = -x +4y +2k :
partial fpartial y(x,y) = limkto 0(-x +4y +2k) = -x +4y
  1. Expande e simplifica:
  1. Divide por :
  1. Limita :

Resposta

boxedpartial fpartial x(x,y) = 2x - y, partial fpartial y(x,y) = -,x + 4y

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