(opcional) Responda as questões abaixo:
Sabendo que tan ^-1(1)=pi / 4, use a aproximação acima para estabelecer que
pi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12 k-1
para n grande.

Passo 1

O enunciado pede pra usar o fato de que pi approx 4sumk=1^n(-1)^k+12k-1 e mostrar que, para grande,
Isso cai em “séries de Taylor” (ou Maclaurin) de funções trigonométricas. Vamos precisar da expansão em série de potências de , obtida a partir de e de integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, lembra da série geométrica: para 11+u = summ=0^infty(-1)^m,u^m ,
11+x^2 = summ=0^infty(-1)^m,x^2m
Se a gente põe arctan(x) = integral0^x 11+t^2,dt = integral0^x summ=0^infty(-1)^m t^2m,dt = summ=0^infty(-1)^m integral0^x t^2m,dt , fica
Como sabemos que , podemos integrar essa série termo a termo de até :

Passo 3

Essa integral é fácil:
integral0^x t^2m,dt = x^2m+12m+1
Logo
arctan(x) = summ=0^infty (-1)^m x^2m+12m+1
Agora, para arctan(1) = summ=0^infty (-1)^m2m+1 ,

Passo 4

Sabendo que pi4 = summ=0^infty (-1)^m2m+1 , a gente tem
pi4 = sumk=1^infty (-1)^k+12k-1
Se preferir reescrever começando em pi = 4sumk=1^infty (-1)^k+12k-1 , basta mudar o índice por , e aparece
Multiplicando ambos os lados por 4,

Resposta

Para boxedpi approx 4sumk=1^n(-1)^k+12k-1 grande, a soma parcial
é a aproximação desejada.

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