(opcional) Responda as questões abaixo:
Sabendo que
, use a aproximação acima para estabelecer que
para
grande.
Sabendo que
Passo 1
O enunciado pede pra usar o fato de que
e mostrar que, para
grande,
Isso cai em “séries de Taylor” (ou Maclaurin) de funções trigonométricas. Vamos precisar da expansão em série de potências de
, obtida a partir de
e de integração termo a termo.
Passo 2
Primeiro, lembra da série geométrica: para
,
Se a gente põe
, fica
Como sabemos que
, podemos integrar essa série termo a termo de
até
:
Passo 3
Essa integral é fácil:
Logo
Agora, para
,
Passo 4
Sabendo que
, a gente tem
Se preferir reescrever começando em
, basta mudar o índice por
, e aparece
Multiplicando ambos os lados por 4,
Resposta
Para
grande, a soma parcial
é a aproximação desejada.