Use a regra de Simpson 1 / 3 para estimar \int_{1}^{3} \ln (x) d x com n=6.

Passo 1

O enunciado pede: usar a regra de Simpson 1/3 para estimar \displaystyle \int_{1}^{3} \ln(x)\,dx com n=6.\n
Informações dadas e importantes:\n
  • O intervalo de integração é [a,b]=[1,3].\n
  • O número de subintervalos é n=6 (note que n é par, requisito para Simpson 1/3).\n
  • A função é f(x)=\ln(x).\n

Passo 2

Vou explicar a regra de Simpson 1/3 e os símbolos que vamos usar (aula rápida e prática).\n
A regra de Simpson 1/3 para \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx com n par divide o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesma largura h e aproxima a integral por:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_{0})+f(x_{n}) + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_{i}) + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_{i})\Big).í
Aqui:
  • h=\dfrac{b-a}{n} é a largura de cada subintervalo;\n
  • x_{i}=a+i h são os nós ( i=0,1,\dots,n);\n
  • o primeiro somatório (com coeficiente 4) soma as avaliações em índices ímpares i=1,3,5,\dots;\n
  • o segundo somatório (com coeficiente 2) soma as avaliações em índices pares internos i=2,4,\dots,n-2.\n
    Motivação curta: Simpson combina retas e parábolas locais para obter uma aproximação mais precisa que trapézio/rectângulos — por isso aparecem os pesos 4 e 2 alternados.

Passo 3

Calcular h e os nós x_{i}.\n
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Os nós são x_{i}=1+i\cdot\frac{1}{3}. Escrevendo-os:
\begin{aligned} x_{0}&=1,\\\ x_{1}&=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3},\\\ x_{2}&=1+\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{3},\\\ x_{3}&=1+\tfrac{3}{3}=2,\\\ x_{4}&=1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{7}{3},\\\ x_{5}&=1+\tfrac{5}{3}=\tfrac{8}{3},\\\ x_{6}&=1+\tfrac{6}{3}=3. \end{aligned}

Passo 4

Avaliar f(x_{i})=\ln(x_{i}) em cada nó. Vou usar aproximações decimais suficientes para a prova (valores padrão conhecidos/obtidos por cálculo):\n
\begin{aligned} f(x_{0})&=\ln(1)=0,\\[4pt] f(x_{1})&=\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 0{,}287682072,\\[4pt] f(x_{2})&=\ln\!\left(\tfrac{5}{3}\right)\approx 0{,}510825624,\\[4pt] f(x_{3})&=\ln(2)\approx 0{,}693147180,\\[4pt] f(x_{4})&=\ln\!\left(\tfrac{7}{3}\right)\approx 0{,}847297860,\\[4pt] f(x_{5})&=\ln\!\left(\tfrac{8}{3}\right)\approx 0{,}980829253,\\[4pt] f(x_{6})&=\ln(3)\approx 1{,}098612289. \end{aligned}]

Passo 5

Aplicar a fórmula de Simpson montando os somatórios passo a passo.\n
Somatório dos índices ímpares i=1,3,5:
\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_{i})=f(x_{1})+f(x_{3})+f(x_{5}) \approx 0{,}287682072 + 0{,}693147180 + 0{,}980829253 = 1{,}961658505.í
Multiplicando por 4:
4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_{i}) \approx 4\times 1{,}961658505 = 7{,}846634020.í
Somatório dos índices pares internos i=2,4:
\sum_{i\\ \text{par}} f(x_{i})=f(x_{2})+f(x_{4}) \approx 0{,}510825624 + 0{,}847297860 = 1{,}358123484.
Multiplicando por 2:
2\sum_{i\\ \text{par}} f(x_{i}) \approx 2\times 1{,}358123484 = 2{,}716246968.
Agora somamos tudo dentro dos colchetes da fórmula:
f(x_{0})+f(x_{6}) + 4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_{i}) + 2\sum_{i\\ \text{par}} f(x_{i}) \approx 0 + 1{,}098612289 + 7{,}846634020 + 2{,}716246968.í
Somando:
\text{colchetes} \approx 11{,}661493277.

Passo 6

Multiplicar pelo fator \dfrac{h}{3}. Como h=\dfrac{1}{3},
\frac{h}{3}=\frac{1/3}{3}=\frac{1}{9}.
Portanto a aproximação de Simpson é
\int_{1}^{3}\ln(x)\,dx \approx \frac{1}{9}\times 11{,}661493277 \approx 1{,}295721475.

Passo 7

Checagem (aula bônus curta): a integral exata de \ln(x) pode ser obtida por integração por partes: uma primitiva é x\ln(x)-x. Assim o valor exato é
\Big[x\ln(x)-x\Big]_{1}^{3}=3\ln(3)-3 - (1\ln(1)-1)=3\ln(3)-2.
Usando \ln(3)\approx 1{,}098612289
3\ln(3)-2\approx 3{,}295836867-2=1{,}295836867.
Comparando: Simpson deu 1{,}295721475 e o valor exato é 1{,}295836867. O erro é pequeno (aprox. -0{,}000115392), mostrando que a regra de Simpson com n=6 já é muito precisa aqui.

Resposta

1{,}295721475

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