Use a regra de Simpson
para estimar
com
.
Passo 1
O enunciado pede: usar a regra de Simpson
para estimar
com
.\n
Informações dadas e importantes:\n
Informações dadas e importantes:\n
- O intervalo de integração é
.\n - O número de subintervalos é
(note que é par, requisito para Simpson ).\n - A função é
.\n
Passo 2
Vou explicar a regra de Simpson
e os símbolos que vamos usar (aula rápida e prática).\n
A regra de Simpson para
com
par divide o intervalo
em
subintervalos de mesma largura
e aproxima a integral por:
A regra de Simpson
Aqui:
-
é a largura de cada subintervalo;\n -
são os nós ( );\n - o primeiro somatório (com coeficiente
) soma as avaliações em índices ímpares ;\n - o segundo somatório (com coeficiente
) soma as avaliações em índices pares internos .\n
Motivação curta: Simpson combina retas e parábolas locais para obter uma aproximação mais precisa que trapézio/rectângulos — por isso aparecem os pesos 4 e 2 alternados.
Passo 3
Calcular
e os nós
.\n
Os nós são
. Escrevendo-os:
Passo 4
Avaliar
em cada nó. Vou usar aproximações decimais suficientes para a prova (valores padrão conhecidos/obtidos por cálculo):\n
Passo 5
Aplicar a fórmula de Simpson montando os somatórios passo a passo.\n
Somatório dos índices ímpares :
Somatório dos índices ímpares
Multiplicando por
:
Somatório dos índices pares internos
:
Multiplicando por
:
Agora somamos tudo dentro dos colchetes da fórmula:
Somando:
Passo 6
Multiplicar pelo fator
. Como
,
Portanto a aproximação de Simpson é
Passo 7
Checagem (aula bônus curta): a integral exata de
pode ser obtida por integração por partes: uma primitiva é
. Assim o valor exato é
Usando
dá
Comparando: Simpson deu
e o valor exato é
. O erro é pequeno (aprox.
), mostrando que a regra de Simpson com
já é muito precisa aqui.
Resposta
1{,}295721475