Calcule a integral.
integral arctg 4 t d t

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a integral
integral arctan(4t),dt,
Isso é conteúdo de Cálculo Integral, e o que vamos usar aqui é a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du,
Também vamos lembrar que
ddtl(arctan(x)r)=11+x^2e, por substituição, ddtl(arctan(4t)r)=41+(4t)^2, çã

Passo 2

Escolhemos as partes para a integração por partes:
u = arctan(4t) ⇒ du = (4/(1+16t²)) dt
dv = dt ⇒ v = t

Passo 3

Aplicando a fórmula
integral arctan(4t),dt = u,v - integral v,du
ficamos com
t;arctan(4t);-;integral tcdot41+16t^2,dt,

Passo 4

A integral que sobrou é
4integral t1+16t^2,dt,
Para resolver essa, fazemos a substituição
w = 1+16t^2Longrightarrow dw = 32t,dtLongrightarrow t,dt = dw32,
Então
4integral t1+16t^2,dt = 4integral 1w,dw32 = 432integral dww = 18ln|w| + C1,
Voltando a variável t, isso é
18lnl(1+16t^2r) + C1,

Resposta

Juntando tudo, a solução final é
boxed,integral arctan(4t),dt = t,arctan(4t);-;18lnl(1+16t^2r);+;C,

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