Use as regras de diferenciação para calcular f^prime(z) para cada função dada.
f(z)=i z^2-2 z3 z+1-i;

Passo 1

Beleza, nosso exercício pede pra derivar a função
f(z)=i z^2-2 z3 z+1-i
Isso entra em Cálculo de funções (aqui de variável complexa, mas a ideia é a mesma da real): a gente vai usar a regra do quociente. Pra isso, vamos precisar:
  1. Calcular a derivada do numerador .
  2. Calcular a derivada do denominador .
  3. Aplicar a fórmula .
  4. Simplificar o que der.

Passo 2

Derivada do numerador u'(z)=ddzl(i z^2r)-ddz(2z) = icdot 2z - 2 =2i,z - 2 .
  • Lembra que .
  • Então

Passo 3

Derivada do denominador v'(z)=3 .
  • Constantes ( ) viram zero.
  • E .

Passo 4

Agora aplica a regra do quociente:
f'(z) =u'(z),v(z);-;u(z),v'(z)l(v(z)r)^2 =l(2i z -2r)(3z+1-i);-;(i z^2-2z),3(3z+1-i)^2

Passo 5

Bora expandir e simplificar o numerador:
  1. 6i z^2 + (2i z +2z-6z) + (2i-2) =6i z^2 + (2i z-4z) +2i-2 :
  • 6i z^2 +2i z-4z +2i-2 ;-;(3i z^2-6z) = (6i z^2-3i z^2) +2i z +(-4z+6z) +2i-2
  • =3i z^2 +2i z +2z +2i-2 =3i z^2 +2(i+1)z +2(i-1)
  • f'(z) =3i z^2 +2(i+1)z +2(i-1)(3z+1-i)^2

  • Somando dá
  1. Subtrai .
    Então numerador total
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Resposta

boxedf'(z)=3i z^2 +2(i+1)z +2(i-1)(3z+1-i)^2

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