Use as regras de diferenciação para calcular f^prime(z) para cada função dada.
f(z)=(z^4-2 i z^2+z)^10;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar as regras de diferenciação pra calcular
f(z)=l(z^4-2,i,z^2+zr)^10
ou seja, temos uma função composta do tipo . O conteúdo principal é a regra da cadeia, que diz: pra derivar você faz a derivada da parte de fora (que é ) e multiplica pela derivada da parte de dentro ( ). Vamos precisar também lembrar como derivar polinômio (derivada de e de constantes como ).

Passo 2

Definimos a parte interna
u(z)=z^4-2,i,z^2+z
e a parte externa
v(u)=u^10
Pela regra da cadeia:
f'(z)=v'(u)cdot u'(z)
Como v'(u)=10,u^9 , temos

Passo 3

Agora calculamos u'(z)=4,z^3-4,i,z+1 . Lembra das derivadas básicas:
Juntando tudo:

Passo 4

Só falta multiplicar:
f'(z)=10,l(u(z)r)^9;cdot;u'(z) =10,l(z^4-2,i,z^2+zr)^9,l(4,z^3-4,i,z+1r)

Resposta

boxedf'(z)=10,l(z^4-2,i,z^2+zr)^9,l(4,z^3-4,i,z+1r)

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