Use o Teorema de Lagrange para provar que:
(a) Todo grupo finito de ordem prima é um grupo cíclico.
(b) Grupos de ordem <6 são abelianos.
Passo 1
O enunciado pede para usarmos o Teorema de Lagrange para provar duas coisas:
(a) que todo grupo finito de ordem prima é cíclico;
(b) que todo grupo de ordem menor que 6 é abeliano.
Passo 2
O Teorema de Lagrange diz que, se H é subgrupo de um grupo finito G, então
\lvert H\rvert \;\bigm|\;\lvert G\rvert.
Em particular, a ordem de qualquer elemento de G (isto é, a ordem do subgrupo que ele gera) divide \lvert G\rvert.
Passo 3
Prova de (a): seja G um grupo finito com \lvert G\rvert = p, onde p é primo, e seja e o elemento neutro. Escolha g\in G, g\neq e. Então o subgrupo \langle g\rangle satisfaz
\lvert\langle g\rangle\rvert \;\bigm|\; p,
logo \lvert\langle g\rangle\rvert\in\{1,p\}. Como g\neq e, não pode ter ordem 1, então \lvert\langle g\rangle\rvert=p. Daí \langle g\rangle=G e G é gerado por g, ou seja, é cíclico.
Passo 4
Prova de (b): seja G com \lvert G\rvert = n < 6.
Se n\in\{1,2,3,5\} então ou n=1 (caso trivial) ou n é primo, e pelo item (a) G é cíclico. Todo grupo cíclico é abeliano.
Passo 5
Ainda em (b), considere n=4. Para todo g\neq e em G, a ordem de \langle g\rangle divide 4, logo é 2 ou 4.
Se existe g de ordem 4, então G\cong C_4 é cíclico e abeliano.
Caso contrário, todo g\neq e tem ordem 2. Isso implica g^2=e e facilmente mostra que xy=yx para quaisquer x,y, de modo que G\cong C_2\times C_2, que é abeliano.
Passo 6
Em todos os casos, mostra-se que G é abeliano quando \lvert G\rvert<6.
Resposta
(a) Todo grupo finito de ordem prima é cíclico.
(b) Todo grupo de ordem menor que 6 é abeliano.