Dada a função f(x)=x^{3}-6 x^{2}-x+20=0, faça o que se pede:
a) Delimitação das raízes positivas e negativas ( 1,0 ponto).
b) Enumeração das raízes positivas e negativas ( 1,0 ponto).
c) Isolamento das raízes por Tabelamento de Função (1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}-x+20=0
e pede:
a) delimitar em quais intervalos surgem raízes positivas e negativas;
b) dizer quantas dessas raízes são positivas e quantas são negativas;
c) isolar cada raiz por tabelamento (avaliar f(x) em pontos para localizar a troca de sinal).
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e, na enumeração, a Regra de Sinais de Descartes.

Passo 2

Delimitação das raízes (TVI em pontos inteiros). Avaliando f(x) para x=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6: f(-3)=-27-54+3+20=-58 (negativo), f(-2)=-8-24+2+20=-10 (negativo), f(-1)=-1-6+1+20=14 (positivo), f(0)=20 (positivo), f(1)=1-6-1+20=14 (positivo), f(2)=8-24-2+20=2 (positivo), f(3)=27-54-3+20=-10 (negativo), f(4)=64-96-4+20=-16 (negativo), f(5)=125-150-5+20=-10 (negativo), f(6)=216-216-6+20=14 (positivo).
Onde houver troca de sinal entre pontos consecutivos, há pelo menos uma raiz:
– entre -2 (neg.) e -1 (pos.) ⇒ raiz em (-2,-1),
– entre 2 (pos.) e 3 (neg.) ⇒ raiz em (2,3),
– entre 5 (neg.) e 6 (pos.) ⇒ raiz em (5,6).

Passo 3

Enumeração das raízes (Regra de Descartes ou análise acima):
f(x) tem duas trocas de sinal em +: até 2 raízes positivas (aqui confirmamos 2);
f(-x)= -x^{3}-6x^{2}+x+20 tem uma troca de sinal em +: 1 raiz negativa.

Passo 4

Isolamento por tabelamento fino dentro de cada intervalo:
  1. Raiz negativa em (-2,-1):
    x=-2,\;f(-2)=-10;
    x=-1,5,\;f(-1,5)=(-1,5)^{3}-6(1,5)^{2}-(-1,5)+20=4,625.
    Troca de sinal ⇒ raiz em (-2;-1,5).
    Refinando:
    x=-1,75,\;f(-1,75)\approx-1,987 ⇒ troca de sinal em (-1,75;-1,5).
  2. Primeira raiz positiva em (2,3):
    x=2,1,\;f(2,1)=2,1^{3}-6(2,1)^{2}-2,1+20\approx0,701;
    x=2,2,\;f(2,2)\approx-0,592.
    Troca de sinal ⇒ raiz em (2,1;2,2).
  3. Segunda raiz positiva em (5,6):
    x=5,5,\;f(5,5)\approx-0,625;
    x=5,6,\;f(5,6)\approx1,856.
    Troca de sinal ⇒ raiz em (5,5;5,6).

Resposta

(a) As raízes estão em (-2,-1), (2,3) e (5,6).
(b) Há 1 raiz negativa e 2 raízes positivas.
(c) Isolamento por tabelamento fino:
– raiz negativa em (-1,75;-1,5),
– primeira raiz positiva em (2,1;2,2),
– segunda raiz positiva em (5,5;5,6).

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