Verifique quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada.
\left(\mathbb{Z}_{+}, \cdot\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o par \bigl(\mathbb{Z}_{+},\cdot\bigr) forma um grupo. Lembre-se de que um conjunto com uma operação binária é grupo se satisfaz quatro axiomas principais: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Verificamos o fechamento e a associatividade da multiplicação em \mathbb{Z}_{+}.
A multiplicação de dois inteiros positivos é sempre um inteiro positivo, logo há fechamento.
Além disso, a multiplicação de números inteiros é associativa, ou seja, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{Z}_{+} vale
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).

Passo 3

Procuramos um elemento neutro e\in\mathbb{Z}_{+} tal que e\cdot a = a\cdot e = a para todo a\in\mathbb{Z}_{+}.
Na multiplicação o elemento neutro é 1, que de fato pertence a \mathbb{Z}_{+}.

Passo 4

Agora, a existência de inversos: para cada a\in\mathbb{Z}_{+} deve existir b\in\mathbb{Z}_{+} tal que a\cdot b=1.
Mas, se a>1, o único b que satisfaria a\cdot b=1 seria b=\tfrac1a, que não é inteiro positivo. Assim, apenas 1 tem inverso (ele mesmo), e os demais elementos não têm inverso em \mathbb{Z}_{+}.

Resposta

\bigl(\mathbb{Z}_{+},\cdot\bigr) não é grupo, pois nem todo elemento possui inverso multiplicativo em \mathbb{Z}_{+}.

Exercícios relacionados