Verifique quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o par
forma um grupo. Lembre-se de que um conjunto com uma operação binária é grupo se satisfaz quatro axiomas principais: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Verificamos o fechamento e a associatividade da multiplicação em
.
A multiplicação de dois inteiros positivos é sempre um inteiro positivo, logo há fechamento.
Além disso, a multiplicação de números inteiros é associativa, ou seja, para quaisquer vale
A multiplicação de dois inteiros positivos é sempre um inteiro positivo, logo há fechamento.
Além disso, a multiplicação de números inteiros é associativa, ou seja, para quaisquer
Passo 3
Procuramos um elemento neutro
tal que
para todo
.
Na multiplicação o elemento neutro é , que de fato pertence a
.
Na multiplicação o elemento neutro é
Passo 4
Agora, a existência de inversos: para cada
deve existir
tal que
.
Mas, se , o único
que satisfaria
seria
, que não é inteiro positivo. Assim, apenas
tem inverso (ele mesmo), e os demais elementos não têm inverso em
.
Mas, se