Utilizando os cálculos do exercícios anterior, calcule: integral-1^2(2 x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral definida
integral-1^2(2x+1)^2,dx
Isso é Cálculo Integral, mais especificamente integrais definidas de polinômios. Para resolver a gente vai precisar de:
1) Expandir o quadrado pra virar termos separados.
2) Usar a regra de potência pra encontrar a antiderivada (função primitiva).
3) Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando a primitiva em 2 e em –1 e subtraindo.

Passo 2

Primeiro a gente expande o integrando:
(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
Isso deixa a integral virou mais simples:
integral-1^2(4x^2+4x+1),dx

Passo 3

Agora vamos achar a antiderivada de cada termo, usando a regra de potência ( integral x^ndx = x^n+1/(n+1)):
  • integral 4x^2dx = 4cdotx^33 = 43x^3.
  • integral 4x,dx = 4cdotx^22 = 2x^2.
  • integral 1,dx = x.
    Logo, uma primitiva geral é
F(x) = 43x^3 + 2x^2 + x + C

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo a integral de –1 a 2 é
F(2) - F(-1)
Vamos calcular:
F(2) = 43,2^3 + 2cdot2^2 + 2 = 43cdot8 + 8 + 2 = 323 + 10 = 32 + 303 = 623,
F(-1) = 43,(-1)^3 + 2cdot(-1)^2 + (-1) = -43 + 2 - 1 = -43 + 1 = -13
Subtraindo:
F(2) - F(-1) = 623 - l(-13r) = 623 + 13 = 633 = 21

Resposta

21

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