Mostre que integral1^4(raizx+1raizx) d x=203

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral definida
integral1^4l(raizx + 1raizxr),dx
Isso é um exercício de integração de potências. Vamos usar a regra geral
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C(nneq -1)
Também precisamos reescrever raizx como x^1/2 e tfrac1raizx como x^-1/2.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em duas:
integral1^4x^1/2,dx ;+;integral1^4x^-1/2,dx
Agora, aplicando a regra de potência a cada termo:
- Para x^1/2, temos n=tfrac12, então
integral x^1/2,dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23,x^3/2
  • Para x^-1/2, n=-tfrac12, logo integral x^-1/2,dx = x^(-1/2)+1(-1/2)+1 = x^1/21/2 = 2,x^1/2
    Assim, uma primitiva comum é
    F(x) = 23,x^3/2 + 2,x^1/2

Passo 3

Agora aplicamos os limites de 1 a 4, ou seja, calculamos F(4)-F(1):
  • Em x=4: x^1/2 = 2, x^3/2 = 2^3=8 ;Longrightarrow; F(4)=23cdot8 + 2cdot2 = 163 + 4 = 163 + 123 = 283
    - Em x=1:
    x^1/2=1, x^3/2=1 ;Longrightarrow; F(1)=23cdot1 + 2cdot1 = 23 + 2 = 23 + 63 = 83

Resposta

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