Utilizando a fórmula do erro,para encontrar o inteiro mais próximo de c de tal forma que o erro no cálculo do valor aproximado de integral0^ln 1024 e^x d x utilizando a Regra dos Simpson com 10 divisões do intervalo [0, ln 1024] seja ET=-n h^5 f^(4)(c)180
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra usar a fórmula do erro da Regra de Simpson composta
ET ;=; -n,h^5,f^(4)(c)180
para achar o número (e, depois, o inteiro mais próximo) em .
Conteúdo:
  • Regra de Simpson composta.
  • Fórmula do erro envolvendo a 4ª derivada.
  • Cálculo de integral exata e aproximação pelo método.
O que vamos precisar:
  1. Expressar .
  2. Saber que e, portanto, .
  3. Calcular a integral exata e a soma de Simpson para extrair o erro numérico .
  4. Substituir tudo na fórmula do erro e resolver para .

Passo 2

Calcular a=0, b=ln1024, n=10Longrightarrow h=b-an=ln102410=ln(2^10)10=ln2:
Teoria rápida: na Regra de Simpson composta, dividimos o intervalo em pedaços iguais de tamanho .

Passo 3

Integral exata de integral0^ln1024 e^x,dx = l[e^xr]0^ln1024 = e^ln1024-e^0 = 1024 - 1 = 1023 de S = h3l(f0 + f10 + 4sumímparesfi + 2sumpares, ineq0,10fir) a S = ln23,(1 + 1024 + 2728 + 680) = ln23cdot4433:
Sapprox 0.6931473cdot4433 approx1024.24
Agora a aproximação por Simpson com |E| = |1023 - 1024.24|approx1.24:
x_i = i,h = i,\ln2, então .
A soma de Simpson é
í
  • .
  • Ímpares : , então .
  • Pares : , então .
Logo
Numericamente
O erro aproximado é a diferença (exata – aproximação) ou (aprox – exata), mas a gente pega o valor absoluto:

Passo 4

Agora usamos a fórmula do erro
ET = -n,h^5,f^(4)(c)180 Longrightarrow |E|;=;10,( ln2 )^5,e^c180
Isolando e^c = 180,|E|10,(ln2)^5 = 18,cdot1.24(ln2)^5 :
e^c approx 18cdot1.240.1604approx 22.320.1604approx139.1 Longrightarrow c approx ln(139.1)approx4.93
Calculemos .

Passo 5

O valor de boxed5 que saiu foi aproximadamente . O inteiro mais próximo desse valor é

Resposta

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