(1,0) Utilizando indução, prove que 5+10+\ldots+5 n=\frac{5 * n *(n+1)}{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre n\in\mathbb{N}, que
\sum_{k=1}^{n}5k \;=\;\frac{5\,n\,(n+1)}{2}.
O conteúdo envolve a técnica de prova por indução e manipulação de somatórios.

Passo 2

Caso base ( n=1):
\sum_{k=1}^{1}5k = 5 \quad\text{e}\quad \frac{5\cdot1\cdot(1+1)}{2} = \frac{5\cdot1\cdot2}{2} = 5.
Logo, a fórmula é válida para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge1 valha
\sum_{k=1}^{n}5k = \frac{5\,n\,(n+1)}{2}.
Passo indutivo ( n\to n+1):
\sum_{k=1}^{n+1}5k = \sum_{k=1}^{n}5k \;+\;5(n+1) = \frac{5\,n\,(n+1)}{2} + 5(n+1) = \frac{5(n+1)\bigl(n + 2\bigr)}{2} = \frac{5\,(n+1)\bigl((n+1)+1\bigr)}{2}.
Portanto, se vale para n, vale também para n+1.

Passo 4

Pelo princípio da indução matemática, conclui-se que, para todo n\in\mathbb{N},
\sum_{k=1}^{n}5k = \frac{5\,n\,(n+1)}{2}.

Resposta

5 + 10 + \cdots + 5n = \frac{5\,n\,(n+1)}{2}.

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